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概率论与数理统计习题与解答 第一章 随机事件与概率 内容概要： 1.随机现象 在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象. 2.样本空间 随机现象的一切可能结果组成的集合称为样本空间.，其中：：基本结果，又称为样本点. 3.随机事件 随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件（事件），用,…表示. ：表示必然事件，：表示不可能事件. 4.随机变量 用来表示随机现象结果的变量称为随机变量.用…表示. 5.事件间的关系 .包含关系：若属于的样本点必属于，则称被包含在中。 或. .相等关系：若且，则. .互不相容：若与没有共同的样本点，则称与互不相容。即事件与不可能同时发生. 6.事件运算 .并：.事件与至少有一个发生. .交；或.事件与同时发生. .差：.事件发生而不发生. .对立事件：的对立事件：.即：不发生. 7.事件的运算性质 交换律：， 结合律：, . 分配率：（）， . 对偶率：=， =. 8.事件域 含有必然事件，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类称为事件域.具体说，事件域满足： ， 若则， 若，则可列并. 习题与解答 1.1随机事件及其概率 ★1. 设为三事件，试表示下列事件： （1）都发生或都不发生； （2）中不多于一个发生； （3）中不多于两个发生； （4）中至少有两个发生。 解 （1）。 （2）。 （3）。 （4）。 ★2. 请指明以下事件与间的关系： （1）检查两件产品，记事件=“至少有一件不合格品”，=“两次检查结果不同”； （2）设表示轴承寿命，记事件={}，{}。 解 （1）。 （2）。 ★3. 对飞机进行两次射击，每次射一弹，设={恰有一弹击中飞机}，{至少有一弹击中飞机}，{两弹都击中飞机}，{两弹都没击中飞机}。随机变量表示击中飞机的次数，试用表示事件。进一步问中哪些是互不相容事件？哪些是对立事件？ 解 ，，，。 互不相容的事件为：与；与；与；与。 对立的事件为：与。 ★4.请叙述下列事件的对立事件： （1） “掷两枚硬币，皆为正面”； （2） “射击三次，皆命中目标”； （3） “加工四个零件，至少有一个合格品”。 解 （1） “掷两枚硬币，至少有一个反面”； （2） “射击三次， 至少有一次不命中目标”； （3） “加工四个零件，全为不合格品”。 ★5. 如果与互为对立事件，证明：与也互为对立事件。 证明：因为 ，，所以与仍互为对立事件。 1.2 概率的定义及其确定方法 ★1.掷两颗骰子，求下列事件的概率： （1）点数之和为7； （2）点数之和不超过5； （3）两个点数中一个恰是另一个的两倍。 解 样本空间共有36个样本点， {点数之和为7}={（1,6），（2,5），（3,4），（4,3），（5,2），（6,1）}， {点数之和不超过5}={（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（3,1），（3,2），（4,1）}， {两个点数中一个恰是另一个的两倍}={（1,2），（2,1），（2,4），（4,2），（3,6），（6,3）}. 所以， ★2.考虑一元二次方程其中分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率和有重根的概率。 解 按题意可知：样本空间共有36个等可能的样本点，所求的概率为 ， 而 含有19个样本点，所以 . 同理 ， 而含有2个样本点。所以 . ★3.口袋中有10个球，分别标有号码1到10，现从中不返回地任取3个，记下取出球的号码，试求： （1）最小号码为5的概率； （2）最大号码为5的概率。 解 从10个球中任取3个，有种等可能的取法。 设=“最小号码为5”， =“最大号码为5”。 事件发生须从6，7，8，9，10中任取2个，再取5，共有种不同的取法. 所以 . 同理： . 另解 记为取出球的最小号码，为取出球的最大号码，则 . . ★4.个人随机地围一圆桌而坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率. 解法1 设甲已坐好，再考虑乙的坐法，共有个位置可坐，且具有等可能性.所以样本空间共有个样本点.甲乙相邻又有两种坐法. 故 . 解法2 个人随机的围圆桌而坐，共有种不同的坐法，甲乙2人相邻可看做是个人围圆桌而坐，有种不同的坐法，其中甲乙的坐法又有2种. 所以 . ★5.一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾.然后随机地把六根头两两相接，六根尾也两两相接.求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率. 解法1：因6根尾两两相接可随意进行，不会影响成环。故只需考虑6根头两两相接可能出现的情况：第一步，先从6个头中任取2个打一个结，再从余下的4个头中任取2个打一