高等数学电子教案：第10章 重积分.docVIP

章节 第十章 重积分 §1 二重积分的概念与性质 课时 2 教 学 目 的 理解二重积分的定义，掌握二重积分性质。 教学 重点 及 突出 方法 二重积分的定义及性质。 教学 难点 及 突破 方法 二重积分的定义。 通过计算曲顶柱体的体积及平面薄片的质量问题，利用与定即分的定义的概念的引入中相同的方法引入二重积分的定义。 相关 参考 资料 《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P199-P204 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P536-P538 教 学 过 程 教学思路、主要环节、主要内容 10.1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的定义： 二重积分通过计算曲顶柱体的体积及平面薄片的质量问题引入的。 定义: 设f（x，y）是有界闭区域D上的有界函数。将闭区域D任意分成n个小闭区域Δσ1 ，Δσ2，…，Δσn， 其中Δσi表示第i个小闭区域，也表示它的面积。在每个Δσi上任取一点(ξi，ηi），作乘积 f(ξi，ηi）Δσi（i = 1, 2, …, n,），并作和。如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y）在闭区域D上的二重积分，记作，即。（*） 其中f(x，y)叫做被积函数，f(x，y)dσ 叫做被积表达式，dσ叫做面积元素，x与y叫做积分变量，D叫做积分区域，叫做积分和。 在二重积分的定义中对闭区域D的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D，那末除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形闭区域Δσi的边长为dxi和dyi，则Δσi=dxi·dyi。因此在直角坐标系中，有时也把面积元素dσ 记作dxdy，而把二重积分记作 其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素。 这里我们要指出，当f（x，y）在闭区域D上连续时，（*）式右端的和的极限必定存在，也就是说，函数f（x，y）在D上的二重积分必定存在。 二、二重积分的性质 二重积分与定积分有类似的性质： 性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面。 性质2 函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差）。 性质3 如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。 性质4 如果在D上，f（x，y）= 1，A 为D的面积，则性质5如果在D上，f（x，y）≤ g（x，y），则有不等式 性质6 设M，m分别是f（x，y）在闭区域D上的最大值和最小值，A是D的面积，则有 性质7（二重积分的中值定理） 设函数f（x，y）在闭区域D上连续，A 是D的面积，则在D上至少存在一点(ξ，η)使得下式成立：(ξ，η)·A 。 章节 第十章重积分 §2 二重积分的计算法 课时 2 教 学 目 的 熟练掌握二重积分的直角坐标计算方法及极坐标计算方法。 教学 重点 及 突出 方法 二重积分的直角坐标计算方法及极坐标计算方法。 二重积分的定限，确定积分限注意训练学生根据被积函数和积分区域的特点选择适当坐标系，确定积分次序，准确定出积分限，并根据二重积分的性质进行计算。 1.关键是：（1）正确选择公式。正确区分1）、（2）分别只适用于2）正确确定积分限。要做到这两点、应画出积分区域的图形。 既是X-型区域又是Y-型区域、则可选择公式（1）或公式（2）进行计算。此时、选择公式的原则是 3.若 10.2 二重积分的计算法 按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和积分区域来说，这不是一种切实可行的方法。这里介绍一种方法，把二重积分化为两次单积分（即两次定积分）来计算。 一、利用直角坐标计算二重积分 1、称为X-型积分区域,其中,则 (1) 2、称为Y-型积分区域,其中,则 2） (1)右端的积分称为先对,后对的二次积分；公式(2)右端的积分称为先对,后对的二次积分。 f(x,y)分别在有界闭区域D1和D2上可积。如果下列条件之一成立： （1）若与关于轴对称、且是关于的奇（偶）函数； 2）若与关于轴对称、且是关于的奇（偶）函数； （） 三、利用极坐标计算二重积分 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量表达比较简单。这时，我们就可以考虑利用极坐标来计算 至于变量变换为极坐标后的二重积分，则可化为二次积分来进行计算。化为二次积分时，积分限是根据r,θ在积分区域中的变化范围来确定的。若积分区域,其中在上连续, (2) 若积分区域,其中在上连续, (3) 若积分区域,其中在上连续, 章节 第十章 重积分 §4重积分的应用 课时 2