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种群的相互依存 摘要：甲乙两种群的相互依存有三种形式： 1) 甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。 2) 甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。 3) 甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。 本文分别对这三种相互依存的关系进行分析，从种群的增长规律出发，对Logistic模型进行修改，建立两种群相互依存的模型。并通过微分方程组描述了两种群数量的变化规律，且对微分方程组稳定点的分析, 分别得出了两种群相互依存的条件。 关键词：Logistic模型 微分方程组 稳定点 鞍点 平衡点 自治方程 第一种情况的分析： （1.）模型假设 1.以、表示甲、乙二种群在时刻的数量，表示甲种群的固有增长率, 分别表示甲、乙二种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大种群数量 2.甲独自生存时，数量变化服从Logistic规律; 甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。 3.乙种群没有甲的存在会灭亡,死亡率为,甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用 (服从Logistic规律)。 4.乙为甲提供食物是甲消耗的(1 倍,甲为乙提供食物是乙消耗的(2 倍 (2.)模型建立: 经过分析得到以下方程: ………………(1) 上式刻画了区域所考查的两种群的发展规律，即为依存模型. (3)模型求解: 欲求此问题的相互依存的条件我们先来介绍以下的知识内容： 微分方程理论性简介：此问题为动态过程，且建此模的目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状态是否稳定。为了分析这种稳定与不稳定我们常常不是通过求解微分方程，而是通过用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。 a.一阶微分方程的平衡点及其稳定性: 设一阶微分方程为 （1）,方程右端不显含自变量t,称为一阶非线性（自治）方程。的实根 为微分方程（1）的平衡点.同时也是方程（1）的解（奇解）。 判断平衡点是否稳定的方法： 间接法：若从某邻域的任一初值出发，都有，称是方程(1)的稳定平衡点。 直接法：(1)的近似线性方程 （2）， ，则对于方程（1）和（2）都是稳定的； ，则对于方程（1）和（2）都是不稳定的； b.二阶微分方程的平衡点及其稳定性: 二阶方程可用两个一阶方程表示为： （3） 右端不显含自变量t是自治方程。代数方程组： （4） 的实根 为微分方程（3）的平衡点.记作 判断平衡点是否稳定的方法： 间接法：若存在某个邻域的任一初值出发，都有，称是方程(1)的稳定平衡点。 直接法：(3)的近似线性方程： （5） ，，， 特征方程，特征根， ，平衡点；，平衡点。 根据以上的分析，以下为求解该模型的平衡点过的程： 令: …………………………（2） （从上式可以看出只有当足够大方可使乙存活） 令: …………………………（3） 方程（1）的右边不显含自变量t,我们将其称为自治方程。为此： 令： 解为： ， 此为（1）的三个平衡点(或奇点)。 记 记 （） 在处的值列表如下 表1 种群依存模型的平衡点及稳定性 平衡点 p q 稳定条件 不稳定 (4.)结果分析： a.显然，P2是甲乙相互依存而共生的平衡点，下面我们着重分析p2稳定的条件。 由p2的表达式容易看出，要使平衡点p2有实际意义，即位于相平面第一象限，必须满足下面两个条件中的一个： 由上面的分析知：仅在条A1件下p2才是稳定的，而在A2条件下p2是不稳，而是鞍点。 以下画出在条件A1下平衡点P2稳定性的相轨线图：直线和将相平面划分成4个区域：：＞0，＜0；：＞0，＞0；：＜0，＞0；：＜0，＜0。 从四个区域中的正负不难看出其相轨线的趋势如下图所示： (2的含义：(21表示甲必须为乙提供足够的食物——甲为乙提供的食物是乙消耗(2倍； (1(21表示(21 前提下P2存在的必要条件； (11，(21, (1(21 的需要，且(1必须足够小，才能在(21条件下使(1(21 成立。 以下画出在条件A2下平衡点P2的相轨线图： 从上的相轨线图可以看出在A2情况下平衡点P2不稳定，相互提供食物可能使二者均趋于无穷。 b.以下是平衡点p1的相轨线图： 图1所示情