在职硕士GCT考试上海交通大学高等数学讲义—第十一讲：微分方程.doc

第十一章 微分方程 2004.8.5 四、二阶线性方程解的结构 1О 二阶线性齐次微方程 1的解的结构 定理、设是方程1的两个解，则也是1的解 定义：函数线性相关，线性无关 P320 定理、如是方程1的两个线性无关的特解，则 是1的通解。（为任意常数） 例1、 ∴ 通解为 例2、 ∴ 通解： 2o 二次线性非齐次方程的通解 2 定理 设是2的一个特解，为1的通解， 则2的通解为： 即 线性非齐次方程的通解=线性齐次方程的通解+非奇一个特解 定理如为2的解，则为1的解 定理如 3 分别为： 的特解 则 为3的特解。 3o 二阶常系数线性齐次方程的解法 设为解，将代入方程及特征方程： （1）当特征方程有两个不等根则方程通解： （2） 则通解为： （3）， 则通解为： 习题17. 18. 4o 二阶常系数线性非齐次方程的解法 如： 则 方程2的特解通常用特定系数法求出 例、求下列方程的通解 （1） 解：特征方程： 设 代入方程： 比较同次幂系数： 通解： （2） 解：特征方程： 设 将代入方程比较同次幂系数： ∴ 通解为： （3） 解： 设代入方程，及 通解： （i） 解：设 将代入原方程整理得： (4) 解： 设 将代入原方程并消去及 通解： （5） 解： 设代入原方程并比较同次幂系 数及 ∴ 通解： （ii） ∴ (6) 解： 设 将代入方程及 ∴ 通解： （7）P328 例8.34 (8) 解： 设代入方程 及 （9） 解： 设 1