于多项式混沌方法的CFD不确定性研究--第一部分 数学方法与验证 王晓东.docVIP

中国工程热物理学会 热机气动热力学 学术会议论文 编号：092105 基于多项式混沌方法的CFD不确定性研究 --第一部分 数学方法与验证 王晓东 康 顺 华北电力大学电站设备状态检测与控制教育部重点实验室 102206 联系电话：010 E-mail：wangxd@ 摘要：本文分两个部分介绍应用于不确定性分析的嵌入式多项式混沌方法。第一部分将介绍嵌入式多项式混沌的数学方法，并以欧拉方程为例，介绍其耦合过程。以粘性Burgers方程为模型，求解由于粘性系数的不确定性引起的方程解的变化，并与采用蒙特卡洛法的模拟结果进行对比验证。研究结果显示了多项式混沌方法应用于流动随机分析的有效性。第二部分将对顶盖驱动流由于边界条件和流体属性的不确定性引起的流动变化进行研究。 关键词：不确定性，多项式混沌，蒙特卡洛模拟，数值模拟，Burgers方程 0 引言 随着计算机技术与计算方法的发展，CFD分析已经成为研究各种流动现象的重要手段。至今大多数CFD分析所采用的数学模型都是确定性的，物性参数、几何模型和边界条件等也都是确定性的，并以寻求确定性解为目标。采用这样的方法，人们在工作实践中常常担心CFD模拟结果的精度和可信度，以及与实验数据的差异。影响CFD模拟精度或与实验数据存在差异的因素众多，除了文[1，2]所列出的各种因素外，还与现实物理问题中存在的大量不确定性因素有关，比如：由于加工工艺、工作环境等引起几何条件和工作参数的随机变化、边界条件的不确定性及物性参数的不确定性等等。如果研究对象（如涡轮、压气机、飞行器等）的性能参数对某个变量非常敏感，则即使这些不确定性变量的变化范围比较小，也可能对这些对象引起灾难性的后果。因此，近几年来，美国和欧洲首先在航空航天领域开展了一系列不确定性分析的研究计划[3，4]，以期增加复杂系统设计和分析的鲁棒性。由于流体运动方程的复杂性,转捩与湍流模型等因素，使得对随机流动的分析要远比固体力学中的不确定性分析困难的多。因此CFD模拟不确定度分析是这些研究计划中的重点和难点。应当指出，这些研究中的不确定性分析与数值离散误差是有区别的。对CFD软件的可信度验证和确认是研究不确定性因素影响的基础。国内在不确定性分析方面的研究尚未开展，目前仍关注于CFD可信度和误差分析等前期工作。 CFD不确定性分析有两方面主要的内容。其一是模型参数的不确定性对模型输出参数的影响，即不确定性在流场中的传播；其二是从已有可靠数据中如何估量模型参数本身的不确定性[5]。目前的分析主要关注与第一方面，即认为不确定性分析是随机物理过程，其变量是服从一定概率分布的随机变量。传统的用于随机分析的方法有蒙特卡洛方法（MC，Monte Carlo），微扰动法，敏感性分析等。其中蒙特卡洛方法由于结构简单，而应用较为广泛。但是，在处理低维度问题时，蒙特卡洛方法仍需要大量的样本，对计算资源的消耗较大，因而效率低下。近年来，一些基于谱分析的分析方法逐渐引起人们的注意。多项式混沌方法（PC，Polynomial Chaos）是其中之一。该方法最早由Wiener[6]提出，早期在解决湍流问题中得到了较多的应用。近年来在随机流动分析方面得到迅速发展。Le Maitre等人采用此方法研究了黏性为均匀分布的随机变量的二维不可压缩槽道流动和空穴对流问题[7]。Xiu和Karniadakis拓展了Wiener的方法，提出了广义多项式混沌方法，对不同概率分布函数，证明了存在不同的最优多项式混沌与之对应[8]，并研究了不可压槽道流动和方柱绕流问题[9]。Chris等人将该方法应用到可压缩NS方程中，研究了一维超音速喷管边界条件不确定性对流动的影响和流体黏性对顶盖驱动流的影响[10]。吴华等采用该方法求解随机Stokes方程，分别模拟了在空腔流动和后台阶流动中由于速度边界的不确定性引起的流场的变化[11]。 本文分两部分，其中第一部分将介绍多项式混沌方法的原理和数学方法，并以一维Burgers方程为例，将采用多项式混沌方法获得的结果与采用蒙特卡洛方法获得的结果进行对比验证。第二部分对顶盖驱动的方腔流动进行研究，分析了由于顶盖速度和流体的粘性存在不确定性引起的数值模拟结果的不确定性。 1多项式混沌方法 根据与求解器的耦合方式的不同，随机分析的方法分为嵌入式（intrusive）和非嵌入式（non－intrusive）方法。非嵌入式PC方法可以采用已有的求解器，把现有的确定流动问题求解器作为一个黑匣子，通过在随机空间里若干个运行求解