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第四章 矩阵练习题参考答案 1. 解: (1) ∴ (2) 2．解：(1) . (2) . (3) 所以 (4)∵ ∴ (5) (6) 原式= (7) ∴ (8) 所以3．(1) (2) ∴ 4.解：(1) 设 由 ∴ 任取。 (2) ∵ ∴ 令 ∴ (3) 同样设 5. 解： 设 左边位于i行j列的元为，右边位于i行j列的元素. 当i(j时， 得，. 只能是对角矩阵. 6. 解：设 （ ），，且 ∴∴为与A同型的准对角形矩阵. 7.解： (1) 设, ∴A的第一列 A的第二行 (2) ∴A的第i列：,且,(k≠i) A的第j行，且,(s≠j) (3)由于A与所有n级矩阵可换，故 的第一行只留下a11可非0. 的第二行只留下a22=a11其余全为0. 的第三行只留下a33=a11,其余全为0. 的第n行只留下ann=a11.其余全为0. 所以 8. 证明： 9．证明： .. 10．证明：若A为实对称矩阵，若A2=0,则A=0. 若为 ，矛盾，。 11．证明： 。 12．A=B+C， ∴ ∴ 13． ∴， ∴. 14. 设A是n(n矩阵, 证明存在一个n(n非零矩阵B使得AB=0的充要条件是|A|=0. 证明：∴. ∵∴ 15．AE.∵E的每一列去乘A的各行为0,∴AE=0.又AE=A, ∴A=0. 16. 设B是一个r(r矩阵, C为一个r(n矩阵, 且R(C)=r, 证明: (1) 如果BC=0，则B=0。 (2) 如果BC=C, 则B=E. 证明：(1) 考虑齐线方程组,CTx=0, 有r个未知量,而R(C)=R(CT)=r=未知量个数, 所以Cx=0 只有零解. BC=0, CTBT=0, 所以BT的各列元素均为零,得BT=0, B=0. (2) 若BC=C, 则(B-E)C=0, 由(1)得B-E=0，B=E. 17. 证明：R(A+B)(R(A)+R(B). 证明：设（I）,B的行向量为（Ⅱ），而（Ⅲ），那么 . ∴设 为（Ⅰ）的极大无关组，那么R(A)=R(I)=r. 设（Ⅱ′）为（Ⅱ）的极大无关组，那么R(B)=R(II)=p. 令{}为向量组(IV), 由于(III)可由(I)和(II)线性表出，所以(III)可由(Ⅳ)线性表出，又(IV)只含有r+p个向量，所以 R(IV) r+p, 得 R(A+B)=R(C)=R(III)R(Ⅳ)r+p=R(A)+R(B). 18. 设A,B为n(n矩阵，证明：如果AB=0, 则R(A)+R(B)n. 证明：设R(A)=r,那么，线性方程组AX=0的基础解系可设为. 设B的各列为(1,(2,…,(m.∵AB=0.说明B的每列(j乘以A的每行都为0，A(j=0, 即Bj 是AX=0的解,所以(1,(2,…,(m.可由线性表示，于是 R((1,(2,…,(m.)R()=n-r, R(A)+R(B)r+n-r=n. 19. 证明：如果Ak=0, 那么, 证明：由Ak=0,得,从而 . 20. 解(1)∴ (2) ∴ 而 ∴ (3) ∴ ∴ (4) A= a1-1= ∴ A-1= (5)法1：∴ 法2： ∴ (6)A= ……→ a+= (7), (8), (9) ∴A-1= (10) 求A-1 ，A=. 解法1：令A=2E+B, 由于B4=0,所以(E-A)4=0，再令C=E-A=B，C4=0. 由19题的结论， (E-C)-1=(A)-1=2A-1 =E+C+C2+ C3=E+B+(B)2+(B)3 A-1=E++B B2+B3 =. 解法2: A==， ，，， A-1=. 21. 设 解：由于，所以. 22. 设，求X-1. 解：将X分块为， 由21题，（见上面） 23. 求矩阵X. 解：(1) ∵ ∴ (2) (A,B)= ∴. (3)由AX=B，A可逆得X=A-1B， 所以 (4), ∴ 24. ①∵∴∴ 若 若 ②若 ∴∴ 于是A不可逆。 P202.T25 ①若A,B上三角形，则 ∴时， ∴C=AB为上三角 , ∴ ∴C=AB为下三角 ② ∴ ∴上三角，故A-1上三角 ∵当A为下三角时，AT上三角∴（AT）-1为上三角，即（A-1）T为上三角，故A-1为下三角。 P202.T26 ∵∴ 若∴ 若 ∴秩 ∴ 总之，各种情形均有 P202.T27 证明：如果A是n(n矩阵(n(2)，那么 证明：(1) 若R(A)=n, 则|A|(0, 由AA*=|A|E, 可知A*可逆. (2) 若R(A)=n-1， 则Ax