高考中的待定系数法.docVIP

高考中的待定系数法 在求解具有某种确定形式的数学问题时，通过引入待定系数，然后列出方程（组），再解方程（组）来确定待定系数，这种方法叫待定系数法.待定系数法在解题中有着广泛的应用.下面举例来说明： 1.求函数的解析式 例1 已知函数f(x)=a+bsin2x+ccos2x的图象经过点A（0，1），B，且当时，f(x)取最大值求f(x)的解析式. 解：由题意知得b=c=1-a. ∴ ∵ ∴ 当1-a0时，由解得a=-1； 当1-a0时，由得a无解； 当1-a=0时，得a=,自相矛盾. 综上可知a=-1. ∴ 2.解决直线与平面向量的综合问题 例2 已知向量a=(1,1)，b=（1，0），c满足a·c=0且|a|=|c|，b·c0. （1）求向量c; （2）若映射f（x,y）→（x＇,y＇）=xa+yc, 求映射f下（1，2）的原象； 若将（x,y）看作点的坐标，问是否存在直线l使得直线上任一点在映射f的作用下的点仍在直线上？若存在，求出直线l的方程，否则说明理由. 解：（1）设c=（m,n），由题意得 ∴c=（1，-1）. (2)①由题意x（1，1）+y（1，-1）=（1，2），得 解得 ∴（1，2）的原象是 ②假设存在直线l适合题设，平行于坐标轴的直线显然不适合. 设所求的直线方程为y=kx+b（k≠0），在该直线上任取一点P（x,y），经过映射f的作用得到点Q（x＇,y＇）=（x+y,x-y）仍在该直线上. ∴x-y=k（x+y）+b,即（1+k）y=（1-k）x-b. 当无解，故这样的直线不存在； 当b=0时，解得k=-1 故这样的直线l存在，其方程为y= 3.解决函数、数列及不等式的综合问题 例3 如果函数N+）满足f（0）=0，f（2）=2，且f（-2）-. 求函数f(x)的解析式； 是否存在各项不为零的数列{an}满足4Sn·f如果存在，写出数列的一个通项公式an,并说明满足条件的数列{an}是否唯一确定；如果不存在，请说明理由. 解：（1）依题设得 ∴ 又由 ∵b∈N+. ∴ ∴b=1或b=2. 又2b-c=2, 故当b=1时,c=0,不符合题意；当b=2时，c=2. ∴ 假设存在数列{an}满足题意，则. ∴ 当n=1时，2S1=a1-a 故a1=-1; 当n≥2时， 整理得(an+an-1)（an-an-1+1）=0. ① 若对一切n均有an-an-1+1=0,即an-an-1=-1,则{an}是以a1=-1为首项，以-1为公差的等差数列. ∴an=-n.此时显然①式成立. 根据①式，显然数列-1，-2，-3，3，-3，3，-3，…或数列-1，-2，2，-2，-3，-4，-5，…等均满足题意，所以存在数列{an}满足题意，例如an=-n.且满足条件的数列{an}不唯一确定，有无数多个. 万尔遐同窗