第四十三讲 高考复习-空间的角.ppt

第四节　空间的角 一、异面直线所成的角 1．定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O，作a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 2．求作异面直线所成角的方法 (1)平移法：在异面直线中的一条直线上选择一 ，作另一条直线的平行线； (2)补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系． 3．范围： ． 二、直线与平面所成的角 1．定义：直线与平面所成的角是直线和它在平面内的射影所成的角．当直线和平面平行或直线在平面内时，称直线和平面成0°角．当直线和平面垂直时，称直线和平面成90°角． 2．求作直线和平面所成角的方法 斜线和平面所成的角是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段，斜线段及斜线段在平面内的射影．其中的关键是作出射影线段．(它是由垂线段的垂足和斜足连结而成的)． 三、二面角 1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． 2．求作二面角的方法 二面角的大小是用它的 来度量的．找(或作)出二面角的平面角，并且求出其大小，主要有以下几种方法： (1)定义法：直接在二面角的棱上取一点(特殊点)，分别在两个半平面中作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特殊性． (2)三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角． (3)垂画法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，这两垂线作平面与两个平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所成的平面与棱垂直． (4)射影法：利用面积射影公式 ，其中θ为平面角的大小，此方法不必在图中画出平面角来． 对于没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法． 3．范围： ． 解(证)与角有关的问题，通常是先“定位”，后“定量”． 空间各种角的度量都是转化为平面角来实现的，要熟练掌握各类角转化为平面角的方法．求角的一般步骤是：①找出或作出有关的平面角；②证明它符合定义；③化归到某一个三角形中进行计算. 例1　如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝AA1＝4，点O是AC的中点． (1)求证：AD1∥平面DOC1； (2)求异面直线AD1和DC1所成角的余弦值． [分析]　(1)寻找线面平行的条件利用判定定理证明； (2)用中位线平移法先找后求． [规律总结]　求异面直线所成角分四步：作，证，求，答．“作”即过空间一点作两条异面直线的平行线，而空间一点一般取在两条异面直线中的一条上，特别是某些特殊点处，例如“端点”或“中点”处；“证”即证明所作角符合异面直线所成角的定义；“求”是通过解三角形，计算出所作角的大小；“答”即最后指明结论． 求异面直线所成的角要注意以下两点：①当两条异面直线互相垂直时，欲求它们所成的角，实际上是要通过证明来实现；②当利用解斜三角形有关知识求出的角为钝角时，应取其补角作为异面直线所成角的大小. 备选例题1　　本例已知条件不变，求异面直线AD1和OC1所成的角． 例2　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝ ，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．求直线AC与PB所成角的余弦值． [分析]　异面直线所成的角可通过平移，转化为相交直线所成的角． 　[规律总结]　求异面直线的夹角最关键是要找出一个点，把其作为角的顶点，然后再把两个异面直线“平移”过来，这个“角”就完成了．这个点也许在异面直线上，也许在空间．这个点有时很好找，但有时不容易找出，此时可考虑使用cosθ＝ 来求解. 备选例题2　　如图，在五棱锥S－ABCD中，SA⊥底面ABCDE，SA＝AB＝AE＝2，BC＝DE＝ ，∠BAE＝∠BCD＝∠CDE＝120°.求异面直线CD与SB所成的角(用反三角函数值表示)． 解法二：如图(2)，连结BE，延长BC、ED交于点F，则∠DCF＝∠CDF＝60°.又BC＝DE，∴BF＝EF. ∴△BFE为正三角形． ∵△ABE是等腰三角形，且∠BAE＝120°， ∴∠ABC＝90°. 以A为原点，AB、AS所成直线分别为x轴、z轴，平面ABC内垂直于AB的直线为y轴建立空间直角坐标系， 例3　在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝2BC