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高三数学概念、方法、题型、易误点总结（七） 班级 姓名 七、直线和圆 1、直线的倾斜角： （1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线与轴重合或平行时，规定倾斜角为0； （2）倾斜角的范围。 如（1）直线的倾斜角的范围是__ __； 解：, . （2）过点的直线的倾斜角的范围值的范围是__ 解：, 或. 又 由 得：由 得： 综合得： 2、直线的斜率： （1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，即＝tan(≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率； （2）斜率公式：经过两点、的直线的斜率为；（3）直线的方向向量，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？ （4）应用：证明三点共线： 。 如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件； 答：充分不必要条件. （2）实数满足 ()，则的最大值、最小值分别为______ 解：表示线段上的点和原点连线的斜率,设线段AB,则 或由 求其最值.. 3、直线的方程： （1）点斜式：已知直线过点斜率为，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线。 （2）斜截式：已知直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线。 （3）两点式：已知直线经过、两点，则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线。 （4）截距式：已知直线在轴和轴上的截距为,则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 （5）一般式：任何直线均可写成(A,B不同时为0)的形式。 如（1）经过点（2，1）且方向向量为=(－1,)的直线的点斜式方程是___________； 解： 由点斜式得直线方程： （2）直线，不管怎样变化恒过点______； 解：直线方程可化为： 由 得： 直线恒过定点 或赋予两特殊值,如0、1,求出其交点,验证其满足原直线方程. （3）若曲线与有两个公共点，则的取值范围是_______ 解：由图形可知 提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点。 如过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条 答：3条.（如图所示） 4.设直线方程的一些常用技巧： （1）知直线纵截距，常设其方程为； （2）知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)； （3）知直线过点，当斜率存在时，常设其方程为，当斜率不存在时，则其方程为； （4）与直线平行的直线可表示为； （5）与直线垂直的直线可表示为. 提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。 5、点到直线的距离及两平行直线间的距离： （1）点到直线的距离； （2）两平行线间的距离为。 6、直线与直线的位置关系： （1）平行（斜率）且（在轴上截距）； （2）相交； （3）重合且。 提醒：（1） 、、仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？ （2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线； （3）直线与直线垂直。如（1）设直线和，当＝_______时∥； 当＝________时；当_________时与相交；当＝_________时与重合； 解：直线和 ∥： ： 与相交：且 ; 与重合： （2）已知直线的方程为，则与平行，且过点（—1，3）的直线方程是______； 解：由点斜式得直线方程为 即 或设直线方程为 ,由点（—1，3）在直线上求得 即可. （3）两条直线与相交于第一象限，则实数的取值范围是____； 解：由 解得 由 得 也可考虑用数形结合的思想求解, 如图所示： 直线过定点 为使两直线交点在第一象限,应使 （4）设分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线与的位置关系是____； 解： 两直线垂直. （5）已知点是直线上一点，是直线外一点，则方程＝0所表示的直线与的关系是____； 解： 又 则方程＝0表示的直线与平行. （6）直线过点（１，０），且被两平行直线和所截得的线段长为9，则直线的方程是________ 解：记直线和分别为在上取