第二章 弹性力学 平面问题.ppt

本章前面主要内容回顾： 1. 两类平面问题： 平面应力问题 平面应变问题 几何特征; 受力特征; 应力特征。 几何特征; 受力特征; 应变特征。 x y y z t b a 水坝 滚柱 2. 平面问题的基本方程： （1）平衡方程： （2-2） （2）几何方程： （2-9） ——位移边界条件 （4）边界条件： （1） （2） ——应力边界条件 （3）物理方程： （2-15） ——平面应力问题 3. 平面问题一点的应力分析 (b) 主应力与应力主向 （2-7） （2-8） (c) 最大、最小剪应力及其方向 τmax、 τmin 的方向与σ1 （ σ2 ）成45°。 (a) 任意斜面上应力 或 3. 圣维南原理的应用 若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。 注意事项： (1) 必须满足静力等效条件； (2) 只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。 P 次要边界 4. 平面问题的求解方法： （2-17） ——位移边界条件 （2-21） ——应力边界条件 （1）按位移求解基本方程 （2-20） ——平衡方程 （2）按应力求解平面问题的基本方程 （2-22） —— 形变协调方程（或相容方程） 相容方程 （2-23） （平面应力情形） 应力表示的相容方程 （2-24） （平面应变情形） （2-25） （体力 fx、fy 为常数情形） （1）平衡方程 （2-2） （3）边界条件： （2-18） （2）相容方程（形变协调方程） （2-23） （平面应力情形） 按应力求解的基本方程 常体力下可以简化： 求解方法？ （ 两种平面问题形式相同） （ 1） 体力X、Y 转化为面力处理。 （ 2） （1） （2） 下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。 1. 作 业 2. 图示楔形体，试写出其边界条件。 3. 将平面应变问题的物理方程（2-16）， 变换为用应变表示应力形式。 2-1,2-4,2-8,2-9,2-13(b),2-15(a),2-18 O x y O x y A B C D c d b a 两类平面问题： 平面应力问题 平面应变问题 几何特征 受力特征 应力特征 几何特征; 受力特征; 应变特征。 上章的主要内容： 外力、应力、形变、位移。 基本假定： （1） 连续性假定； （2） 线弹性假定； （3） 均匀性假定； （4） 各向同性假定； （5）小变形假定。 （注意：切应力正负号规定） （掌握这些假定的作用） 基本概念： 两类平面问题的一些特征应变问题 名称 平面应力问题 平面应变问题 未知力 已知量 未知力 已知量 位移 u、v w≠0 u、v w=0 应变 应力 形状 Z向尺寸远小于板面尺寸 Z向尺寸远大xoy平面的尺寸 外力 体力、面力的作用面平行xoy平面，外力沿板厚均布 体力、面力的作用面平行xoy平面，外力沿z轴无变化 * （2）将边界条件用位移表示 位移边界条件： 应力边界条件： （a） 将式（a）代入，得 （2-21） （2-17） 式（2-20）、（2-17）、（2-21）构成按位移求解问题的基本方程 总结：按位移求解平面应力问题时，要使位移分量在区域内满足基本微分方程（2-20），并在边界上满足位移边界条件（2-17）或应力边界条件（2-21）。求出位移分量以后，即可用几何方程（2-9）求得形变分量，再用物理方程（2-19）求出应力分量。 （3）按位移求解平面问题的基本方程 （1）平衡方程： （2-20） （2）边界条件： 位移边界条件： （2-17） 应力边界条件： （2-21） 说明： （1）对平面应变问题，只需将式中的E、μ作相替换即可。 （2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。 §2-9 按应力求解平面问题 相容方程 1.变形协调方程（相容方程） 按应力求解平面问题的未知函数： （2-2） 平衡微分方程： 2个方程方程，3个未知量，为超静定问题。 需寻求补充方程， 从形变、形 变与应力的关系建立补充方程。 将几何方程： （2-9） 作如下运算： 显然有： （2-22） —— 形变协调方程（或相容方程） 即： 必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协调，才能求得这些位移分量。 例： 其中：C为常数。 由几何方程得： 积分得： 由几何方程的第三式得： 显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。 此组应变分量不满足相容方程，看是否能求到位移分量 2. 变形协调方程的应力表示