第2章 非线性方程的数值解法_shopo.pptVIP

* * * 定理2.4 设 是方程 的单根, 且f(x)在 的某邻域内有连续的二阶导数, 则牛顿法在 附近局部收敛, 且至少二阶收敛, 有 2.4.4 牛顿迭代法的收敛性 牛顿迭代法对初值x0的选取要求比较高。 X0 必须充分靠近x*才能保证局部收敛。 定理2.5 如果在有根区间［a,b］上 连续且不变号，在［a,b］上取初始近似根x0满足， 则牛顿迭代法产生的迭代序列单调收敛于方程 f(x)=0在该区间上的唯一解。 证明 （ 略 ） y x1 0 x0 X* 0 x0 X* x2 不满足迭代条件时，可能导致迭代值远离根的情况而找不到根或死循环的情况 2.4.4 牛顿迭代法的收敛性 例2.12 用牛顿迭代法求 x=e-x的根,ε=10-4 解：因 f (xk)= x ex –1 , f ′(xk)=ex ( x+1) 建立迭代公式 取x0=0.5,逐次计算得 x1=0.57102, x2=0.56716， x3=0.56714 2.5 弦截法 研究目的：在牛顿法基础上，构造既有较高的收敛速度，又不需计算导数的迭代公式。 思想：用差商 弦截迭代公式 x0 x1 需要2个初值 x0 和 x1。 x2 2.5.1 弦截法几何意义 弦截法也称割线法,其几何意义是用过曲线上两点 、 的割线来代替曲线,用割线与x轴交点的横座标作为方程的近似根 2.5.2 实现弦截法的基本步骤 实现弦截法的基本步骤如下: (1) 选择迭代初值 及精度 ； (2) 计算 ； (3) 若 ，转向(4)；否则 ， ， 转向(2)； (4) 输出满足精度的根 ，结束。 例2.13 用弦截法求方程 在区间 内的实根，取 。 #include stdio.h #include math.h #define eps 0.00001 /* 容许误差 */ #define N 100 /* 最大迭代次数N */ float f(float x) /* 定义函数f(x) */ { float y; y=(x-1)*x*x-1; return(y); } main() { float x0,x1,x2; int i; printf(input x0,x1=); scanf(%f,%f,x0,x1); for(i=1;i=N;i++) { x2=x1-(f(x1)*(x1-x0))/(f(x1)-f(x0)); /* 弦截法迭代公式 */ if(fabs(x2-x1)eps || fabs(f(x2))eps) /*满足精度要求输出近似根并退出*/ { printf(\nRoot of equation is:%8.6f\n,x2); return; } x0=x1; /* 准备下一次迭代的初值 */ x1=x2; } printf(\nAfter %d repeat, no solved.\n,N); /* 输出无解信息 */ } 程序运行结果： input x1,x2=1.4,1.5↙ Root of equation is: 1.465571 弦截法与牛顿迭代法都是线性化方法，但两者有本质的区别： 牛顿迭代法与一般迭代法在计算 时只用到前一步的值 ，故称之为单点迭代法；而弦截法在求 时要用到前两步的结果 和 ，使用这种方法必须给出两个初始近似根 ，这种方法称为多点迭代法。 另外，弦截法比牛顿迭代法收敛速度较慢，但它的计算量比牛顿迭代法小。 可以证明，弦截法具有超线性收敛，收敛的阶约为1.618，它与前面介绍的一般迭代法一样都是线性化方法，但也有区别。即一般迭代法在计算 时只用到前一步的值 ，故称之为单点迭代法；而弦截法在求 时要用到前两步的结果 和 ，使用这种方法必须给出两个初始近似根 ，这种方法称为多点迭代法。 例2.12 用弦截法求方程