第2章 解线性方程组的直接方法.pptVIP

计科5.7至此 * 2.4 向量与矩阵的范数 定理5 --- P41 矩阵的范数与谱半径存在某种关系。 * 2.5 误差分析 方程组的病态 线性方程组的系数，往往含有误差。 此误差（扰动）对方程解的影响如何？ P41 例15 列举了2个线性方程组，只有右端微小的差别，但它们的解却是完全不同的。 --- 病态方程组 需要定量“病态”，以了解其影响程度 * 2.5 误差分析 针对线性方程组：Ax=b 来讨论 右端项b的扰动对解的影响 * 2.5 误差分析 针对线性方程组：Ax=b 来讨论 系数矩阵A的扰动对解的影响 * 2.5 误差分析 结论 两种扰动情况下，对解的影响与cond(A)条件数的大小有关。 cond(A)定量描述了方程组的“病态”程度 矩阵的cond(A)与所用的范数有关 * 2.5 误差分析 利用cond条件数来判断方程组是不是“病态”的。 P43 利用条件数，对（2.29）方程组（如下）的进一步分析。 为何它是病态的？其条件数太大 * 2.5 误差分析 精度分析 将近似解代入原方程组中，求出余量r，其中 r很小，就认为近似解够精确。 余量即扰动量。 * 2.5 误差分析 精度分析 定理6 用余量大小来检验近似解精度的方法，对于病态方程组，不可靠！ * 本章小结 解线性方程组的直接解法 适用于低阶稠密型方程组 高斯消去法 高斯列主元消去法 矩阵的杜利特尔分解 为何要讨论向量与矩阵的范数？ 对近似解的误差估计 迭代法的收敛性 误差分析 病态判定 精度分析 * 第2章作业 P44 1，2，3，4 Wenjian Yu 数值计算方法 Numerical Computation Methods 信息科学与工程学院 彭焱 * 第2章 解线性方程组的直接方法 线性方程组求解是一个基本的数学问题 许多实际问题，都归结为求解线性方程组 根据系数矩阵阶数的高低和含零元素的多少，线性方程组分为两类 低阶稠密型~ 高阶稀疏型~ 求解方法： 直接法（本章讨论） 迭代法（第3章） * 第2章 解线性方程组的直接方法 本章内容 高斯消去法 高斯列主元素消去法 矩阵分解在解线性方程组中的应用 杜利特尔分解 向量与矩阵的范数 误差分析 直接法 在不考虑舍入误差影响的条件下，经过有限次四则运算，求出线性方程组的准确解 与前面讲的矛盾吗？ 不矛盾！因为实际计算时，舍入误差不可避免！ 引言 * mn 无解 mn 无穷多解 ? 求最优解（运筹学） m=n n阶方阵 引言 * 2.1 高斯消去法 以上线性方程组对应的矩阵表示：Ax = b 其中，A为系数矩阵（非奇异矩阵），x为所求的未知向量，b为常数向量 什么是非奇异矩阵？ 充要条件：A为可逆矩阵，其行列式不等于零。 * 2.1 高斯消去法 用中学所学消去法，解线性方程组 消去第2，第3个方程中的 ，得如下等价方程： 如果有n个 方程呢？ * 2.1 高斯消去法 消去第3个方程中的 ，得如下等价方程： 上三角 线性方程组 先后求出： 回代再求： 高斯消去法的定义 --- P20 消元、回代 * 2.1 高斯消去法 基于以上例子，讨论如何用消去法求解n阶线性方程组 （特殊 ? 一般） 增广矩阵进行初等变换 ? 上三角线性方程组 第一次消元，选 ，消去第2~n个方程中的 原理、步骤 第2个方程减去第1个方程（左右均乘以 ） 第3个方程减去第1个方程（左右均乘以 ） 第n个方程减去第1个方程（左右均乘以 ） 事实上，只是对增广矩阵（系数矩阵、常数向量）进行处理！ 经过第一次消元，第2~n行的第1列全部为0，其他系数也都变化，上标标记此变化 思考：上标变化，是何意思？ * 2.1 高斯消去法 继续推而广之 第k次消元，选 ，消去第k+1~n个方程中的 （i=k+1,k+2,…,n） 原理、步骤 第k+1个方程减去第k个方程（左右均乘以 ） …… 第n个方程减去第k个方程（左右均乘以 ） 见 P21 （2.6） （2.7） 经过n-1次消元后，得到 P21 （2.8） 然后求出： 根据公式，反复回代，求出方程组的解 * 2.1 高斯消去法 定理1