第2章 纠错码-环与域的基本概念.ppt

§2.3 环与域的基本概念 一、 环 定义 2.3.1 非空元素集合R中， 若定义了两种代数运算加和乘， 且满足 下述公理： (1) 集合R在加法运算下构成阿贝尔群； (2) 乘法有封闭性， 对任何a， b∈R， 有ab∈R； (3) 乘法结合律成立， 且如和乘之间有分配律， 即对任何a， b∈R， 有a(b+c)=ab+ac和(b+c)a=ba+ca， 则称R是一个环。 由上述定义可知， 环是在集合中定义了两种运算的代数系统。 必须注意的是， 在环R中乘法无恒等元， 即无单位元， 当然更无逆元存在。 若环有单位元存在， 则称它为有单位元环。 若环R对乘法满足交换律， 即对任何元素a， b∈R， 恒有ab=ba， 则称此环为可换环或交换环。 例 R1 全体整数构成环， 用Z表示。 例 R2 全体偶数构成环。 例 R3 某一整数m的倍数全体构成环， 如 3 的倍数全体…， -3， 0， 3， 6， 9， …， 构成一个环。 例 R4 模整数m的全体剩余类构成环， 称此环为剩余类环， 用Zm表示。 如模m=7所构成的全体剩余类： 0 ， 1，2，3，4，5，6 构成环Z7， 且为可换环。 例 R5 实系数多项式全体构成环。 例 R6 n阶方阵全体构成环。 定理 2.3.1 任何a， b∈R， 有 (1) a0=0a=0； (2) a(-b)=(-a)b=-ab。 除了以上性质外， 环中还有许多较特殊的性质。 (1) 环中可以有零因子。 设a、 b∈R， 且a≠0， b≠0， 若ab=0∈R， 则a、 b为零因子， 称有零因子的环为有零因子环。 二、 域 除上面所讲的群、 格和环以外， 域在编码理论中起着关键作用。 域是定义了两种代数运算的系统。 定义 2.3.2 非空元素集合F， 若在F中定义了加和乘两种运算， 且满足下述公理： (1) F关于加法构成阿贝尔群。 其加法恒等元记为 0。 (2) F中非零元素全体对乘法构成阿贝尔群。 其乘法恒等元(单位元)记为 1。 (3) 加法和乘法间有如下分配律：  a(b+c)=ab+ac (b+c)a=ba+ca 则称F是一个域。 例F1 有理数全体、 实数全体、 复数全体对加法、 乘法都分别构成域， 分别称有理数域、 实数域和复数域。 且这 3 个域中的元素个数有无限多个， 所以称它们为无限域。 例F2 0、 1 两个元素按模2加和模 2 乘构成域。 该域中只有两个元素， 记为GF(2)或F2。 定理 2.3.2 设p为素数， 则整数全体关于模p的剩余类： 0 ， 1 ， 2 ， …， p-1 ， 在模p运算下(模p相加和相乘)， 构成p阶有限域Fp(GF(p))。 证明 由前面已知， 模m整数(m不一定为素数)剩余类集合构成交换环Zm， 现在只需证明当m=p为素数时， 非 0 元素有逆元即可。 1 为单位元， 因为p为素数， 因此任何小于p的数a和p均互素。 所以， 由欧几里德算法可知： ? (a， p)=1=Aa+Bp 在等式两边对p取模， 则 1≡Aa (mod p) 所以 1 =A a 例F3 以p=3 为模的剩余类全体： 0 ， 1 ， 2 构成一个三阶有限域GF(3)， 它们的模 3 加法和乘法运算表如下所示： §2.4 子群、 正规子群和商群 一、 子群 定义2.4.1 若群G的非空子集H对于G中定义的代数运算也构成群