王俊伟：由四个特征对构造正定JACOBI矩阵 由四个特征对构造正定 ....docVIP

由四个特征对构造正定Jacobi矩阵 王俊伟 （哈尔滨工程大学 理学院 黑龙江 哈尔滨 150001） 摘 要：本文研究了一类由四个特征值和相应特征向量构造正定Jacobi矩阵的特征值反问题，给出了这一问题有唯一解的充要条件及解的表达式，并给出了问题的数值算法及并给出了问题的数值算例。 关 键 词 Jacobi矩阵；逆特征对问题；对称正定矩阵 一、引 言 具有如下形状的n阶实对称三对角矩阵： ① ，则称为正Jacobi矩阵. 假定是n阶实对称三对角矩阵的特征值，是相应的特征向量，则称是的第i个特征对. 近年来关于Jacobi矩阵逆特征值问题的研究文献很多，类型有由两组谱数据或两个特征对构造Jacobi矩阵[2]；由主子阵及一组谱数据构造Jacobi矩阵的元素[3]及由一组混合谱数据和一个特征对构造Jacobi矩阵[4]；[5，6]中研究了由两个或三个特征对构造正定Jacobi矩阵，本文推广此结果，研究了由四个特征对构造正定Jacobi矩阵的问题. 问题IPEP. 给定若干正实数和对应4个n维非零实向量，求n阶正定Jacobi矩阵使得分别是的第个特征对. 本文给出了问题IPEP有唯一解的充要条件及解的表达式，以及计算问题IPEP的唯一解的数值算法和算例。 二、问题IPEP存在唯一解的充要条件 引理1 设是阶Jacobi矩阵的特征值，是对应于的特征向量，则： （1）； （2）的相邻两个分量不同时为零； （3）若某个使，则. 引理2 阶Jacobi矩阵正定的充要条件是存在唯一的一组正数和唯一的一组正数，使得，其中 ， . 利用引理2，可将问题IPEP转化为：求正数组和正数组，使得 ② 另外，易知问题PDJ存在唯一解的充要条件是：存在唯一的一组正数和唯一的一组正数,使得②成立.将②写成分量形式，即得 (2-1) (2-2) ………… (2-(n-1)) (2-n) 其中 为简明起见，我们用表示，表示，……，表示.此外对，和，引进量 并且用与分别简记与. 引理3 设方程组（2-1）- (2-(k-1))方程构成的方程有解，并设和是他的任意一组解，则有 . 证明：由文[6]中引理2的直接推出，在此不作详细证明。 引理4 关于的方程组 (4-i) 有唯一解的充要条件是： (I).必存在使得且；若存在使得，则； (II).. 证明：由引理3的证明过程可知 充分性 分三种情况讨论： (1).由条件(I)，若只存在一个使得，则取， 再由条件(I)和(II)知方程(4-i)是相容的，于是是方程(4-i)的唯一正解. (2).由条件 (I) ，若存在使得，，不妨设.由条件(II)可得： ， 因此和是唯一确定的. 再由条件(I)知，，，由条件(II)知方程(4-i)是相容的，因此是方程(4-i)的唯一正解. (3). 由条件 (I) 知，若，由条件 (II) 类似 (2) 的证明过程可证得： 由条件(II)知方程(4-i)是相容的，因此是方程(4-i)的唯一正解. 综上所述，当满足条件(I)和(II)时，方程(4-i)有唯一正解. 必要性 因为，若存在使得，而，则方程(4-i)无解.假设，由上述证明过程可知，若方程(4-i)有解必有，从而导致不唯一.因此，方程(4-i)有解必满足条件(I)；若条件(I)满足，要保证的唯一性，必然要满足条件(II).证毕. 引理5 设是阶Jacobi矩阵的特征对，则对是的第个特征对的充要条件是. 定理1. 问题IPEP存在唯一解的充要条件是： (1). ； (2). 都满足引理1 的条件； (3). ； (4). 必存在使得且, ；若存在使得，则； (5). ； (6). . 另外，当问题IPEP有唯一解时，其唯一解可表示为： 其中 ， . . 证明：充分性：由条件(3)和引理4知，方程组（2-1）- (2-(n-1))存在唯一的一组正解， 由引理3和条件(1)知，，亦即 这就是(2-n)中4个方程是相容的.于是由条件(4)知，(2-n)有唯一正解.以上分析表明，在条件(1)、(2)、(3) 、(4)、(5)和(6)下存在唯一的正定Jacobi矩阵，使得是的4个特征对，在注意到条件(2)和引理5知，分别恰是的个特征对，至此充分性得证. 必要性：设问题IPEP存在唯一解，则有引理5知条件(3)成立；由引理4知条件(4)和(5)成立；由于是实对称矩阵，所以，从而有即条件