巧用三角函数同角基本关系式 - 2009年全国技工教育和职业培训.docVIP

2009年全国技工教育和职业培训 优秀教研成果评选活动参评论文　　　　　　 　　（用小4号仿宋体）　　　　　　　　　　 巧用同角三角函数基本关系式 巧用同角三角函数基本关系式 中职数学第一册同角三角函数的基本关系式如下: sin2α + cos2α = 1 tanα = 这些关系式成立的条件是等式两边的所有三角函数都有意义的角 α的范围;它们的灵活应用是教学的主要内容,也是教学的难点.课本中基本关系式的应用有两个方面:第一:已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个值，求其他两个值，即“知一求二”；第二：化简三角函数式，配备的习题综合性较差。为了让高职考生在学习三角函数的同角基本关系式中，有针对性、实效性地理解掌握，笔者在此略举几例综合性较强的习题，让学生多了解一些这方面的知识，提高综合分析和解决问题的能力。 一：运用同角基本关系式，求三角函数式的值； 例一：已知2sinα + cosα = 0, 求sin2α - 3sinαcosα - 5cos2α的值; 解: 因为 2sinα +cosα = 0 cosα = - 2sinα (1) 又因为 sin2α +cos2α =1 (2) (1)代入(2)得 sinα = +- cosα = +- 根据已知条件sinα与cosα应为异号. 则 sin2α -3sinαcosα -5cos2α = - 例二 :如果 = ,那么sinα + cosα的值是多少? 解: 因为 = (1) 又因为 sin2α + cos2α = 1 (2) (1)代入(2)得 sinα （5sinα - 4 ） = 0 sinα = 0（不符舍去） sinα = ， cosα = 则 sinα + cosα = 二;运用同角基本关系式，求三角函数式的取值范围; 例: 已知sinα + sin β = ,求cosα + cosβ 的取值范围; 解: 因为 sinα + sin β = 所以 (sinα + sin β )2 = ()2 即 : sin2α + sin2 β + 2sinα sin β = (1) 令: cosα + cosβ = m 则(cosα + cosβ )2 = m2 (m2 ≥ 0) 即: cos2α + cos2β + 2cosα cosβ = m 2 (2) (1) + (2) 得: 2 + 2cosα cosβ + 2sinα sin β = + m2 m2 = + 2 cos(α - β ) 则: 0 ≤ m2 ≤ , - ≤ m ≤ 即: - ≤ cosα + cosβ ≤ 三:运用同角基本关系式，求三角函数的最值、定义域等； 例一；求f(x) = 的最大值及相应的α的集合； 解：fx) = = = 所以：f(x) 的最大值为2 相应的 α 的集合为：α| α = ，f(x) = sin4α + cos4α的周期和最大值、最小值； 解： f(x) = ( sin2α + cos2α )2 - 2 sin2α cos2α = 1 - sin22α = 所以：fx)的最大值为1、最小值为 ，周期为 。 四：同角基本关系式在解方程中的应用； 例：若sinα、cosα 是方程2x2 - x - m = 0的两个根，求m的值； 解：因为 sinα、cosα 是方程的两个根，根据韦达定理： sinα + cosα = si