数值分析第九章常微分方程数值解法.ppt

* 以 yn, zn表示节点 xn 上 y(x), z(x) 的近似解，则其改进的Euler法具有形式 例 对于方程组 令 原方程组变为 * 预报 即 * 校正 即 * 关于高阶微分方程（或方程组）的初值问题，原则上总可以归结为一阶微分方程组来求解. 引进新变量 z=y?，即可化为一阶方程组的初值问题 从而可以运用前面介绍的算法来求解. ? 高阶微分方程的数值解法 例 对于下列二阶方程的初值问题 * ? 三阶Adams显式公式: F(x)用过节点 xn , xn?1 , xn ?2的2次插值函数 L2(x)代替 * 再离散化，得三阶Adams显式公式 * ? 三阶Adams显式公式截断误差 * ? 三阶Adams隐式公式: F(x)用过节点 xn+1 , xn , xn ?1的2次插值函数 L2(x)代替 * 再离散化，得三阶Adams隐式公式 * ? 三阶Adams隐式公式截断误差 * 上机作业 第342页 数值实验第1题 * * ? Milne公式 F(x)用过节点 xn , xn?1 , xn ?2的2次插值函数 L2(x)代替 再离散化，得Milne公式 * Milne公式是四阶四步显式方法, 截断误差为 * ? 基于Taylor展开方法能导出所有的常用线性多步法, 下面以线性二步法为例来说明这种方法 ? 线性二步法的一般格式 ? 适当选取参数?0, ?1, ??1, ?0, ?1, 使其局部截断误差达到最高阶(使公式的阶尽可能高) ? 局部截断误差 : 假设第n步以前的计算是精确的, yi=y(xi) ( i ? n), 用多步法计算一步所产生的误差, 即 y(xn+1) 与 yn+1 的差. * 为符号简单记, 把 简记为 由Taylor展开式得 ? 局部截断误差 * * 要使局部截断误差的阶高, Rn+1的前面几项应尽可能多为0, 因只有5个未知数, 可令前5项为0. * 其中 fi=f (xi , yi), i=n ? 1, n, n+1. Simpson公式 两步四阶隐式方法 局部截断误差 * ? 答案: 该公式为(r+1)阶Adams显式公式 ? 适当选取?0, ?1, …, ?r 使下列公式的阶尽可能高 适当选取?0, ?1使公式的阶尽可能高. 例 r=1的情形 局部截断误差 * 得二阶Adams公式 要使阶尽可能高, 须令 局部截断误差 * ? 答案: 该公式为(r+1)阶Adams隐式公式. ? 适当选取 ??1, ?0, ?1, …, ?r?1 使下列公式的阶尽可能高 * Hamming公式 四阶三步隐式公式 ? 适当选取?0, ?2, ??1, ?0, ?1, 使下列公式的阶尽可能高 ? 答案: 所求公式为 截断误差 * 例 分别用四阶Adams显式和隐式公式求解初值问题 的数值解, 取 h=0.1. ? 利用线性多步法求解初值问题, 必须先用其他方法算出开始几个点的近似值. 一般可用同阶的单步法. ? 从以上例子看到同阶的Adams方法, 隐式方法要比显式方法误差小, 这可以从两种方法的局部截断误差主项的系数大小来加以解释. * ? 一般地, 同阶的隐式法比显式法精确, 而且数值稳定性好. 但在隐式公式中, 通常很难解出yn+1, 需用迭代法求解, 这样又增加了计算量. 因此实际计算时, 很少单独使用显式公式或隐式公式, 而是将它们联合使用: 先用显式公式求出 y(xn+1)的预测值, 再用隐式公式对预测值进行校正. * 仿照改进的Euler格式的构造方法，将显式和隐式两种Adams格式相匹配，可构成下列Adams预测－校正系统： 预测 校正 ? Adams预测-校正系统 * 预测 校正 ? Milne-Hamming预测-校正系统 ? 以上两种预测-校正公式均为四阶公式, 其起步值通常用四阶RK公式计算. * §5 单步法的相容性、收敛性与稳定性 ? 单步法的一般形式 当?含有yn+1时, 方法是隐式的, 若不含yn+1则为显式方法. 称? (x, y, h)为增量函数 ? 显式单步法的一般形式为 * 例 改进Euler法的增量函数 ? (x, y, h)=f (x, y) 例 Euler法的增量函数 ? 单步法的局部截断误差为 ? p (?1)阶精度的单步法是指 * 数值解法的基本思想是, 通过某种离散化手段将微分方程转化为差分方程. 转化是否合理? 即 (1) 当h?0时, 差分方程是否能无限逼近微分方程? (相容性问题) (2) 差分方程的解 yn是否趋于微分方程的准确解