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抛物线压轴题
1. 如图,设抛物线的焦点为F,动点P在直线上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.
(1)求△APB的重心G的轨迹方程.
(2)证明∠PFA=∠PFB.
2.设A、B是椭圆上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
(Ⅰ)确定的取值范围,并求直线AB的方程;
(Ⅱ)试判断是否存在这样的,使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由.
1. 如图,设抛物线的焦点为F,动点P在直线上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.
(1)求△APB的重心G的轨迹方程.
(2)证明∠PFA=∠PFB.
解:(1)设切点A、B坐标分别为,
∴切线AP的方程为:
切线BP的方程为:
解得P点的坐标为:
所以△APB的重心G的坐标为 ,
所以,由点P在直线l上运动,从而得到重心G的轨迹方程为:
(2)方法1:因为
由于P点在抛物线外,则
∴
同理有
∴∠AFP=∠PFB.
方法2:①当所以P点坐标为,则P点到直线AF的距离为:
即
所以P点到直线BF的距离为:
所以d1=d2,即得∠AFP=∠PFB.
②当时,直线AF的方程:
直线BF的方程:
所以P点到直线AF的距离为:
,同理可得到P点到直线BF的距离,因此由d1=d2,可得到∠AFP=∠PFB.
2.设A、B是椭圆上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
(Ⅰ)确定的取值范围,并求直线AB的方程;
(Ⅱ)试判断是否存在这样的,使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由.
(Ⅰ)解法1:依题意,可设直线AB的方程为,整理得 ①
设是方程①的两个不同的根,
∴ ②
且由N(1,3)是线段AB的中点,得
解得k=-1,代入②得,的取值范围是(12,+∞).
于是,直线AB的方程为
解法2:设则有
依题意,
∵N(1,3)是AB的中点, ∴
又由N(1,3)在椭圆内,∴
∴的取值范围是(12,+∞).
直线AB的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0.
(Ⅱ)解法1:∵CD垂直平分AB,∴直线CD的方程为y-3=x-1,即x-y+2=0,
代入椭圆方程,整理得
又设CD的中点为是方程③的两根,
∴
于是由弦长公式可得 ④
将直线AB的方程x+y-4=0,代入椭圆方程得 ⑤
同理可得 ⑥
∵当时,
假设存在12,使得A、B、C、D四点共圆,则CD必为圆的直径,点M为圆心.
点M到直线AB的距离为 ⑦
于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
故当12时,A、B、C、D四点匀在以M为圆心,为半径的圆上.
(注:上述解法中最后一步可按如下解法获得:)
A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形,A为直角|AN|2=|CN|·|DN|,
即 ⑧
由⑥式知,⑧式左边
由④和⑦知,⑧式右边
∴⑧式成立,即A、B、C、D四点共圆.
解法2:由(Ⅱ)解法1及λ12,
∵CD垂直平分AB, ∴直线CD方程为,代入椭圆方程,整理得
③
将直线AB的方程x+y-4=0,代入椭圆方程,整理得 ⑤
解③和⑤式可得
不妨设
∴
计算可得,∴A在以CD为直径的圆上.
又B为A关于CD的对称点,∴A、B、C、D四点共圆.(注:也可用勾股定理证明AC⊥AD)
5. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若,则的面积为( )
A. B. C. D.
答案 .将两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则( ).
A.n=0 B.n=1
C.n=2 D.n≥3解析 结合图象可知,过焦点斜率为和-的直线与抛物线各有两个交点,所以能够构成两组正三角形.本题也可以利用代数的方法求解,但显得有些麻烦.
答案 C
7.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A. B.3 C. D.
解析 依题设P在抛物线准线的投影为P′,抛物线的焦点为F,则F.依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|,则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d=|PF|+|PA|≥|AF|==.
答案 A
6.如图所示,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程;
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1+y2的值及直
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