方程的根竞赛典型题.docxVIP

例：,求+的根.解：（换元法）设，, 则 ···记为（1）式， ·····记为（2）式因为即 ····记为（3）式将（2）式代入（3）式中，可得可解得联立方程 .解得u=1且v=2或者u=2且v=1.当u=1且v=2时，，解得x=-9；当u=2且v=1时，，解得x=6.关于不定方程的题目：已知a,b,c是整数，且满足a+b=3,c2-2c+ab=-2,求a,b,c的值解：a+b=3 ab=-2-c2+2c构造方程x2-3x+(-2-c2+2c)=0 其中a,b为方程的两根 =9-4（-2-c2+2c)=17+4c2-8c=(2c-2)2+13x= =k2 (2c-2)2+13=k2即k2-(2c-2)2=13 所以(k+2c-2)(k-2c+2)=13 或 可得 或 x=5或-2所以a,b,c的值为5，-2，4 或-2,5,4 或 5，-2，-2或 -2,5，-2例：定义在的实值函数满足：，求.解： 令，得, ，所以 ，同理令，得，即，令，得, 即,令，得, 即，所以，，.例：解方程解： 令 则 则 故 解得 则 则例：求的所有正整数解解：方程两边同乘得即 即 由于方程正整数解 且与异号同偶由于继而则继而则 或 则 或 例：如果满足的实数恰有6个，那么实数的值等于 解：显然，原方程可化为若，则原方程等价于，可化为，即，此时原方程只有4个解，不符合题意。若，则原方程等价于，它可化为如下四个方程：，，，，此时4个方程都有两个不同的实数解，因此原方程有8个不同解，不符合题意。若，则原方程可化为如下三个方程：，，，每个方程各有两个不同的实数解，所以满足题意。函数与方程结合的题型（构造单调函数求解）解下列方程：解：对方程进行变形的到：注意到上述方程两边的式子结构一样，因此构造函数：，又由于函数在定义域上是单调递增的，因此上述方程的解是唯一的。即。解该一元二次方程得到两根分别为。故原方程的解为。例: 解方程 解：观察方程 因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中) 根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式,即 观察方程，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5， 根据歌诀“偶等奇，根 -1”，即方程中含有因式，即? 对一元二次方程,有; 综上，原高次方程分解为当时,有;当(时，有;当时，有; 当(时，有例：给定正数p, q, a, b, c, 其中，p≠q, 若p, a, q是等比数列，p,b, c,q是等差数列，则一元二次方程b-2ax+c=0＿＿＿（Ａ）无实根 （Ｂ)有两个相等实根（Ｃ)有两个同号相异实根 　（Ｄ）有两个异号实根解：由题意得，pq=,2b=p+c,2c=q+b,由后两式得 b=,c=由三元均值不等式，得 bc=·=·≥·=pq=因为p≠q，所以，只能是bc﹥,所给一元二次方程的判别式△=4-4bc﹤0.因此，所给方程无实根，故应选(A)。说明;解决此题得关键是确定判别式△的符号，为此将，进行巧妙地变形，然后运用三元均值不等式使问题获解。例：设是整数，且满足下列条件：①②③求的最小值和最大值解：设注重有个-1，个1，个2，则两式相加，得因为，所以，因此即当，此时取最小值200当，此时取最小值2402 题目：答案：方法代换法 例： 求方程的整数解，其中解： ,则 由得：,得：,故得： 例 求方程5（）的正整数解。解：方程两边同除以可得 不妨设，则+ 即，即的取值范围为13当时，原式为5（），不符合题意当时， ，同理可得26验证知 从而当时，可知方程无正整数解综上所述，原方程共有12组正整数解：（2,4,20），（2,20,4）（4,2,20），（20,2,4），（4,20,2），（20,4,2），（2,5,10），（5,2,10）（10,2,5），（5,10,2），（10,5,2），（2,10,5）例：若实数满足=0,则的值是？解：显然,原方程化为.令,则,所以,且.得.从而有解得：或.而又,则或,即或即或例：用柯西方程解函数方程解：设f (0)=a. 由所给的函数方程得由此又有∴ （1）设，就有代入（1），即得 这方程正是柯西函数方程. 所以有∴题目：f(x)+2f()=4x,求f(x)解：令x= f()+2f(x)=4*= ①f(x)+2f()=4x②2①-②=3f(x)=-4xf(x)=例：求不定方程的正整数解。解：因为而536不是立方数。因此不妨设，则，即当时，；当时，，无整数解。所以原方程有两组正整数解；。求方程组的整数解.解：设x,y,z是方程的三个根，其中分别将三个方程相加得将原方程代入得，由韦达定理得 因这三个数中必为两正一负，且负数的绝对值较大，应为-3，其余两数