2015初中数学联赛(初二组)初赛及答案.docVIP

2015年四川省初中数学联赛（初二组）初赛试题 参考解答及评分标准 一、选择题 1．D. 2．C. 3．A 延长FD至点G，使得DG=BE.显然△ABE≌△ADG. ∴AE=AG.易证△FAG≌△FAE. ∴FG=FE. ∴△ECF的周长=CF+FE+EC=CF+FG+EC=CF+FD+DG+EC=（CF+FD）+（BE+EC）=CD+BC=2.选A. 4．B 当z=0时， 或 或 或 或 或 当z=1时， 或 或 当z=2时， 共计10组自然数解.选B. 5．D 作高AD.显然AD=.在Rt△ABD中，BD=.显然∠B≠90°.当∠B为锐角时，如图（1），CD=BC-BD=.∴AC=；当∠B为钝角时，如图（2），CD=BC+BD=，∴AC=.综上AC=2或.选D. 6．C ∵32除以7余2，∴36除以7与23除以7余数相同，为1.而32015=(36)335·35，∴32015除以7与35除以7余数相同，为5. ∴32015天之后为星期三.选C. 二、填空题 . 8．2014． . 9．8． 作DE∥CA交BA的延长线于点E.由于AC⊥BD，则DE⊥BD,而四边形CDEA是平行四边形，则AC=DE,CD=AE.在Rt△BDE中，BD2+DE2=BE2=（AE+AB）2=（AB+CD）2，即AC2+BD2=（AB+DC）2, ∴62+BD2=102. ∴BD=8. 10. 12. 即是.因为原不等式组的整数解仅为1，2，3,所以即.所以可以取9,10,11共3个数，可以取1,2,3,4共4个数. 所以适合原不等式组的整数组成的有序数对的个数为个. 三、解答题 11．解：∵a2+2ab+b2-6a-6b+9=0，……………………………………..………………… 5分 ∴ (a+b)2-6(a+b)+9=0. ……………………………………………………… …10分 ∴ (a+b-3)2=0. …………………………………………………………………..15分 ∴ a+b-3=0………………. ……………………………………………………..20分 ∴ a+b=3. ………………………………………………………………………..25分 四、解答题 12．解： 当x是方程的一个正数解时，有2015x=ax+2016,得x=,………..…..5分 ∴a2015. ………………………………………………………………….… …10分 当x是方程的一个负数解时，有-2015x=ax+2016,得x=，…..……15分 ∴a-2015. ………………………………………………………………….…..20分 而原方程有一个正数解，但没有负数解，∴a2015成立，但a-2015不成立. ∴a≤-2015. …………………………………………………………………….25分 五、解答题 13．解：（1）证明：连结QM. 易证Rt△ABE≌Rt△CBD. ∴AE=CD.………………………………………………….……………………….…….….5分 (2) 延长AE交CD于点N.由（1）Rt△ABE≌Rt△CBD，∴∠EAB=∠DCB. ∴∠EAB+∠CDB=∠DCB+∠CDB=90°. ∴AN⊥CD，即AE⊥CD. ∵AQ=QC，AP=PD，∴QP∥且QP=. ∵AQ=QC,CM=ME, ∴QM∥且QM= ………………………………….……….10分 ∴QP=QM, QP⊥QM. ∴△MPQ为等腰直角三角形. ∴PM=PQ=2.5. .……………………………………………………………….15分 (3) 连结FD，过点F分别作BC、BD的垂线，垂足分别为H、K. 易证Rt△CHF≌Rt△CGF，∴FH=FG，CH=CG. 易证四边形HBKF为正方形，∴HB=BK=KF=FH=FG .………………………20分 易证Rt△FKD≌Rt△FGD. ∴KD=GD. ∴AD=AB+BD=BC+BD=(CH+HB)+(BK+KD) =(CG+FG)+(FG+GD)=(CG+GD)+2FG=CD+2FG. 命题得证. .……………………………………….………………………………….25分 2