理想商环同态定理.docVIP

§3.8 理想 商环 同态定理 R是环，I是R的加法子群，由I生成一个等价关系： a ~I b 当且仅当 a(b(I， 因为I是交换的，所以~I保持加法(不变，但~I并不一定能保持乘法不变，为了得到正规的等价关系，我们需要一种特殊的加法子群。 3.8.1 定义 理想 R是环，I是环R的加法子群。如果 ((a(R)((x(I)(ax(I(xa(I)， 则称I是R的理想。 3.8.2 例 {0}和R都是R的理想，这两个理想称为R的平凡理想，R的其它理想称为R的非平凡理想。R的任何一个非平凡理想不能含有单位元1。 3.8.3 例 任给n(0，nZ是Z的理想，证明如下： (1) nZ是Z的加法子群。 (2) 任给a(Z，任给nx(nZ，都有a(nx) = (nx)a = n(ax)(nZ。 3.8.4 例 令R = C[((, ((]，任给a(R，在R中取 Ia = {f | f(a) = 0}，则Ia是R的理想，证明如下： (1) Ia是R的加法子群。任给f, g(Ia，都有f(a) = 0且g(a) = 0，所以(f(g)(a) = f(a)(g(a) = 0(0 = 0，因此f(g(Ia。 (2) 任给g(R，任给f(I，都有(gf)(a) = g(a)f(a) = g(a)0 = 0，所以gf(Ia。 可以证明，如果任给I((，I都是R的理想，则((也是R的理想。S是R的子集，(是所有包含S的理想的集合，((称也由S生成的理想。特别地，由{a}生成的理想称为主理想，记为(a)。Z的理想nZ是主理想，因为nZ = (n)。 可以证明，任给a(R，主理想(a) = {(xiayi | xi, yi(R}。特别地，当R是交换环时，(a) = {x(a | x(R}。 理想I生成的等价关系~I是正规的。 3.8.5 定理 R是环，I是R的理想，则~I是正规的等价关系。 证 (1) 如果a~Ib, x~Iy，则a(b(I, x(y(I，所以 (a(x)((b(y) = (a(b)((x(y)(I， 因此(a(x) ~I (b(y)。 (2) 如果a~Ib, x~Iy，则a(b(I, x(y(I，由I是理想得 ay(by = (a(b)y(I，ax(ay = a(x(y)(I， 所以 ax(by = (ay(by)((ax(ay)(I， 因此ax ~I by。■ 环R上的正规等价关系都是由理想生成的。 3.8.6 定理 R是环，~是R上的正规等价关系，则存在理想I，使得~ = ~I。 证 取I =，先证明I是理想。 任给a, b(I，则a ~ 0, b ~ 0，所以0 ~ b，由正规性得 0(((b) ~ b(((b)， 所以(b ~ 0，由正规性得a(b ~ 0(0 = 0，因此a(b(I。 任给a(R, x(I，则x ~ 0，由正规性得ax ~ a0 = 0，因此ax(I，又由正规性得xa ~ 0a = 0，因此xa(I。 再证~ = ~I。 如果a ~ b，则由正规性得a(b ~ b(b = 0，所以a(b(= I，因此a ~I b。 如果a ~I b，则b ~I a，由~I的定义得b(a(I =，所以b(a ~ 0，由正规性得(b(a)(a ~ 0(a，所以a ~ b。■ 因为每个正规的等价关系都是由理想生成，我们用理想来重述群的商结构。 3.8.7 定理 R, (, (, 0, 1是环，I是R的理想，则 R / ~I, (, (, ,是环。 证 (1) 任给,,(R / ~I，都有 (()(===((()。 (2) 任给,,(R / ~I，都有( ===(。 (3) 任给(R / ~I，都有( ==。 (4) 任给(R / ~I，都有(==。 (5) 任给,,(R / ~I，都有()===()。 (6) 任给(R / ~I，都有==，==。 (7) 任给,,(R / ~I，都有 (() ===(。 (() ===(。 ■ 环R, (, (, 0, 1的商结构R / ~I, (, (, ,称为商环，因为~I由I生成，而= I，所以也把商环R / ~I, (, (, ,记为 R / I, (, (, I,，简记为R / I。 由定理3.8.7还可知，在商环G / ~H, (, 中，的负元素(就是。 如果存在n(0，使得an = 0，则称a是幂零元。 3.8.8 例 R是交换环，R的全体幂零元组成R的一个理想I(证明留给读者)。R / I中除I外没有其它幂零元，证明如下： 任(R / I，如果n =，则== I，所以xn(I，因此xn是幂零元，由xn是幂零元得x是幂零元，所以x(I =，因此=。 以下考虑环的同态，R和R(是两个环，(是R到R(的映射。(是同态条件是： (1) ((0) = 0(。 (2)