时不变分数阶系统反周期解的存在性.PDFVIP

　 ， ３５ ６ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ　 　 ２０１４年６月１５ 日出版 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｖｏｌ．３５，Ｎｏ．６，Ｊｕｎ．１５，２０１４ 文章编号：１０００⁃０８８７（２０１４）０６⁃０６８４⁃０８ ⓒ 应用数学和力学编委会，ＩＳＳＮ １０００⁃０８８７ 时不变分数阶系统反周期解的存在性∗ １ ２ 杨绪君 宋乾坤 ，　 （１． 重庆交通大学 信息科学与工程学院，重庆４０００７４； ２． 重庆交通大学 理学院，重庆４０００７４） （我刊编委宋乾坤来稿） 摘要：　 反周期解问题是非线性微分系统动力学的重要特征．近年来，非线性整数阶微分系统的反 周期解问题得到了广泛的研究，非线性分数阶微分系统的反周期解问题也得到了初步的讨论．不同 于已有的工作，该文研究时不变分数阶系统反周期解的存在性问题．证明了时不变分数阶系统在有 限时间区间内不存在反周期解，而当分数阶导数的下限趋近于无穷大时，时不变分数阶系统却存 在反周期解． 关　 键　 词：　 分数阶微积分；　 分数阶系统；　 反周期解 中图分类号：　 Ｏ１７５．１３　 　 　 文献标志码：　 Ａ ｄｏｉ：１０．３８７９／ ｊ．ｉｓｓｎ．１０００⁃０８８７．２０１４．０６．０１０ 引　 　 言 分数阶微积分几乎与 Ｎｅｗｔｏｎ⁃Ｌｅｉｂｎｉｚ 传统微积分同时出现，最早可以追溯至 Ｌｅｉｂｎｉｚ 和 ［１］ Ｈｏｓｐｉｔａｌ在１６９５年的研究工作，距今已有３００多年的历史 ．然而，由于缺乏相应的物理背景， 分数阶微积分一直未能得到广泛的应用和发展．直到２０世纪晚期，计算技术的发展和工业技 ［２］ 术的提高为分数阶微积分的发展提供了客观条件 ．近２０年来，分数阶微分系统的应用迅速 渗透到电子信息、人工智能、材料科学、生物工程、经济管理等领域．在混沌理论中，混沌控制的 思想是基于这样一个事实：混沌吸引子是由无数个不稳定的周期轨道镇定而形成的．因此，在 ［３］ 研究分数阶系统的混沌控制中，给出系统是否存在周期解是很有必要的 ．在文献［４］中，作 者证明了时不变分数阶系统没有周期解；在文献［５］中，作者证明了以Ｔ为周期的函数在求分 数阶次微分后得到的函数不可能以Ｔ为周期；在文献［６］中，作者指出尽管在有限时间区间内 分数阶系统没有周期解，但是当考虑了系统的稳定状态响应时，能够检测到周期轨道；在文献 ［７］中，作者讨论了３类不同定义的分数阶系统，即Ｃａｐｕｔｏ分数阶导数定义的系统、Ｒｉｅｍａｎｎ⁃ Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶定义的系统和Ｇｒüｎｗａｌｄ⁃Ｌｅｔｎｉｋｏｖ分数阶定义的系统，证明了它们都没有周期 解；在文献［８］中，作者通过设计线性反馈控制器研究了分数阶混沌系统不稳定周期轨线的镇 定问题；在文献［９］中，作者讨论了线性分数阶微分系统周期解的不存在性问题，并在渐近周 期函数空间中研究了半线性分数阶微分系统周期解的存在性和唯一性问题． ∗ 收稿日期：　 ２０１４⁃０３⁃２４；修订日期：　 ２０１４⁃０５⁃０６ 基金项目：　 国家自然科学基金；重庆市自然科学基金（重点）（ＣＱｃｓｔｃ２０１３ｊｊＢ４０００８） 作者简介：　 杨绪君（１９８９—），男，江苏徐州人，硕士生（Ｅ⁃ｍａｉｌ：ｘｕｊｕｎｙａｎｇｃｑｕｃ＠１６３．ｃｏｍ）； 宋乾坤（１９６３—），男，四川岳池人，教授，博士（通讯作者． Ｅ⁃ｍａｉｌ：ｑｉａｎｋｕｎｓｏｎｇ＠１６３．ｃｏｍ）．