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2010年中考数学试题分类汇编 压轴题(一) 24．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C． （1）求弦AB的长； （2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由； （3）记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长. 【分析】（1）连接OA，OP与AB的交点为F，则△OAF为直角三角形，且OA＝1，OF＝，借助勾股定理可求得AF的长； （2）要判断∠ACB是否为定值，只需判定∠CAB＋∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的内切圆，所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠DAE＋∠DBA是定值，那么CAB＋∠ABC就是定值，而∠DAE＋∠DBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半； （3）由题可知＝DE (AB＋AC＋BC)，又因为，所以，所以AB＋AC＋BC＝，由于DH＝DG＝DE，所以在Rt△CDH中，CH＝DH＝DE，同理可得CG＝DE，又由于AG＝AE，BE＝BH，所以AB＋AC＋BC＝CG＋CH＋AG＋AB＋BH＝DE＋，可得＝DE＋，解得：DE＝，代入AB＋AC＋BC＝，即可求得周长为． 【答案】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1． ∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF． 在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，∴AB＝2AF＝． （2）∠ACB是定值. 理由：由（1）易知，∠AOB＝120°， 因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA， 因为∠DAE＋∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°； （3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC. ∴ ＝AB?DE＋BC?DH＋AC?DG＝(AB＋BC＋AC) ?DE＝l?DE． ∵＝4，∴＝4，∴l＝8DE. ∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∠ACB＝30°， ∴在Rt△CGD中，CG＝＝＝DE，∴CH＝CG＝DE． 又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE， ∴l＝AB＋BC＋AC＝2＋2DE＝8DE，解得DE＝， ∴△ABC的周长为． 【涉及知识点】垂径定理 勾股定理 内切圆 切线长定理 三角形面积 【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题 25．（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E． （1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式； （2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由. 【分析】（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积； （2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化． 【答案】（1）由题意得B（3，1）． 若直线经过点A（3，0）时，则b＝ 若直线经过点B（3，1）时，则b＝ 若直线经过点C（0，1）时，则b＝1 ①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图25-a， 此时E（2b，0） ∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b ②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2 此时E（3，），D（2b－2，1） ∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE ) ＝ 3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)·()＋×3()]＝ ∴ （2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。 本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！ 由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形 根据轴对称知，∠