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点估计的优良性 林春艳 山东财经大学统计学院 点估计的优良性 对于未知参数 ，我们前面讲了两种估计方法：矩估计和极大似然估计。一般来讲，用这两种估计方法得到的估计量是不一样的，那么这里就有一个优劣问题。判断一个估计量的优劣一般有三种标准： 一、无偏性 二、有效性 三、相合性（一致性） 一、无偏性 定义3.1 设 为参数 的一个估计量， 若 ，则称 为 的一个无偏估计量，否则称 是有偏的。 如果 ，则称 为 的渐进无偏估计。 无偏性是对估计量的最基本要求。其含义为当一个无偏估计量被多次使用时，其估计值在未知参数附近波动，且这些估计值的理论平均值等于该未知参数。 由第二个例题可以看出，一个参数的无偏估计可能不惟一，此时用无偏性来评价这些估计量已经失效，需要引入其他评价标准。 二、有效性与有效估计量 无偏性只是估计量的一个评价标准，当无偏估计不惟一时，我们应当考虑另外的评价标准，有效性就是其中一个。 定义3.2 设总体 服从某种分布 ， 为未知参数， 是来自总体 的样本，若 与 都是 的无偏估计，且对一切 ，都有 ，则称 比 有效。也就是说，在 的无偏估计中，方差越小越有效。 一个参数的无偏估计的方差可不可以任意少，或者说是否有一个下界？为了回答该问题，我们需要对总体的分布做一些假设。 正则性条件：设总体 的概率密度函数为 ，其中参数 未知， 关于 可导，且 的取值与 的非零区域无关，即 与 无关。 是来自总体 的样本。为了将问题一般化，我们考虑 的函数 的无偏估计量 的方差，其中 关于 可导。 T必须满足 特别地，若取 ，则上式为 其中 称为参数 的信息量。 定义3.3 如果 的无偏估计 达到了罗-克拉美不等式的下界，即 则称T为 的有效估计量。 其实，罗-克拉美不等式所规定的下界不是整个无偏估计的下界，而是无偏估计类中的一个子集-----正规无偏估计类的方差下限。 定义3.4 设T为 的一个无偏估计量，称 为T的有效率。 为了下面计算的方便，我们给出信息量 的另一种表示法。 性质 本节前面的推导以及例题均假设总体X为连续随即变量，其实，罗-克拉美不等式以及有效估计量的定义对离散型的总体也是成立的。 定理3.3 设总体 的概率函数或概率密度函数 关于 可导，其中 为未知参数，且 与 无关， 是来自总体 的样本。如果 其中 与 只与 有关。则 为 的无偏有效估计量。 三、相合估计（一致估计） 我们不仅希望一个估计量是无偏的，且具有较小的方差，还希望当样本容量n无限大时，估计量能在某种意义下收敛于被估计的参数值，这就是所谓的相合性（或一致性）的要求。 定义3.5 设 是未知参数 的估计序列，如果 依概率收敛于 ，即对任意 ，有 则称 是 的相合估计或一致估计。 相合性是对估计量的一个基本要求。一个相合估计量意味着，只要样本容量n足够大，就可以保证估