微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第四章习题详解微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第四章习题详解.doc

习题 4-1 1.验证函数f(x)=lnsinx在[]上满足罗尔定理的条件，并求出相应的，使f ′(ξ)=0. 解: 显然在上连续,在内可导,且,满足罗尓定理的条件. 令,则 即存在,使成立. 2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件?有没有满足定理结论中的ξ ? 解: (1) 在上连续,在内可导,且 即 在上满足罗尓定理的三个条件. 令 得 , 即存在,使. (2) 显然在内连续,又 所以在处连续,而且 即在处右连续,在处左连续,所以在 上连续. 又 在处不可导,从而在内不可导. 又 又由 知 综上所述,函数满足罗尓定理的条件(1),(3)不满足条件(2),没有满足定理结论的. (3) 由知在不右连续, 在上不连续, 显然在上可导,又,即,且,取,有. 综上所述,函数满足罗尓定理的条件(2),不满足条件(1),(3),有满足定理结论的,=. 3. 不用求出函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间. 解: 显然在上连续,在内可导,且,由罗尓定理知,在内至少存在一点,使,即在内至少有一个实根. 同理在内也至少有一个实根.又是二次方程,最多有两个实根,故有两个实根,分别在区间和内. 4. 验证拉格朗日中值定理对函数在区间［0，1］上的正确性. 解: 显然在［0，1］上连续,在内可导,满足拉格朗日中值定理的条件. 若令则,取,即存在,使得成立. 从而拉格朗日中值定理对函数在［0，1］上成立. 5. 设在［a,b］上连续，［a,b］f ′(a) = 0，f ′′(x) 0，证明：f′(a) f (b)。 证: 6.若方程有一个正根x0,证明方程 必有一个小于的正根. 证: 令,显然在连续,在内可导,且,依题意知.即有.由罗尓定理,至少存在一点,使得成立,即 成立,这就说明是方程的一个小于的正根. 7. 设f(a) = f() = f(b),且a＜＜b, f ″(x)在［a,b］上存在，证明在(a,b)内至少存在一点ξ，使f ″(ξ) = 0. 证: 显然分别在和上满足罗尓定理的条件,从而至少存在,,使得. 又由题意知在上满足罗尓定理的条件,从而至少存在一点,使得. 即在内至少存在一点,使. 习题4-2 1.利用洛必达法则求下列极限： (1) ; (2) ; (3)； (4) ,(a＞0)； (5) ； (6) ; (7) ; (8) ; (9) ; (10) (11) ; (12) ; (13) ; (14) . 解: 2.设=5,求常数m,n的值. 解: 而 且 即 且 即 且 于是得 . 3.验证极限存在，但不能由洛必达法则得出. 解: ,极限存在,但若用洛必达法则,有 因不存在,所以不能用洛必达法则得出. 4.设f(x)二阶可导，求. 解: 这是型未定式,利用洛必达法则有 习题4-3 1.求函数f(x) =的n阶马克劳林公式. 解: 又  2.当时，求函数f(x) = 的n阶泰勒公式. 解: 3.按的乘幂展开多项式 解: 函数,根据泰勒公式按的幂的展开式是 而 所以,. 习题4-4 1. 求下面函数的单调区间与极值： (1)； (2)； (3)； (4). 解: (1) 令得驻点 在上,,在上 在上单调增加,在上单调减少. 当 时, 有极大值,极大值为, 当 时,有极小值,极小值为. (2) ,令得驻点 在上,;在上, 在上单调递减;在上单调递增. 当时,有极小值,极小值为. (3) 但当时,不存在, 在上,;在上,, 在上单调递增;在上单调递减. 当时, 有极大值,极大值为. (4) ,则 且当 时,不存在,又令得 在上,,在上 在上单调递增;在上单调递减; 当时,有极大值,极大值为; 当时, 有极小值,极小