线性代数矩阵的对角化.ppt

* * * * * * * * * 由于A为严格对角优势矩阵,并且 根据§4定理3得 可逆,并且 于是 有唯一解 * * * * * 例 A:=matrix([[0.5,-0.2,-0.2],[-0.1,0.9,-0.1],[-0.1,-0.1,1]]); b:=matrix([[1],[0],[1]]); X:=linsolve(A,b); * * * * * A:=matrix([[1/2,-1/5,-1/5],[-1/10,9/10,-1/10],[-1/10,-1/10,1]]); b:=matrix([[1],[0],[1]]); X:=linsolve(A,b); * * * * * 三、不可分对角优势矩阵的性质 不可分对角优势矩阵有类似于严格对角优势矩阵的性质. 定理1*如果n阶矩阵A为不可分对角优势矩阵，则A是可逆的. 定理2* 如果n阶矩阵A为不可分对角优势矩阵,其主对角 线元素都是正数,则A的特征值的实部是正数. 定理3* 设n阶矩阵A为非负矩阵,其主对角线元素都小于 1,而E－A为不可分对角优势矩阵,则A的任一特征值的绝 对值小于1. 定理4* 设线性方程组AX=b的系数矩阵A为不可分对角 优势矩阵,其主对角线元素为正,其余元素非正.如果 b≧o,则该方程组有唯一非负解. * * * * * §6 矩阵级数 一、矩阵序列和矩阵级数的收敛性 定义 如果对于每个自然数k ，给定一个m×n矩阵 ，则称Ak,,k=1,2, …为矩阵序列.如果 则说矩阵序列{Ak}收敛于矩阵A,记作 如果数值级数 收敛,并且 则说矩阵级数 收敛于矩阵A,记作 * * * * * 二、幂矩阵序列收敛条件 定理1设A是n阶矩阵，则幂矩阵序列{Ak}收敛于零矩阵的充分必要条件是A的特征值绝对值小于1. 证明 只对于A可对角化的特殊情形进行证明.设存在可逆矩阵Q,使得 对角矩阵 的主对角线元素为A的特征值 由(*)得 或 * * * * * 定理3 设n阶矩阵A为非负矩阵,其主对角线元素都小于1,而E—A为严格对角优势矩阵(或为不可分对角优势矩阵),则幂矩阵序列 收敛于零矩阵 证明.根据§5定理4(或定理4*),A的特征值的绝对值小于1,再由本节定理1即得结论. * * * * * §7 投入产出分析简介 * * * * * 国民经济各部门间存在某种连锁关系.一个经济部门倚赖其他部门的产品或半成品,同时也为其他部门提供条件.如何在特定的经济形势下确定各个经济部门的产出水平以满足整个社会的经济需要是一个十分重要的问题.投入产出模型就是利用数学方法综合地描述各经济部门间产品的生产和消耗关系的一种经济数学模型. 这种数学模型是由美国经济学家列昂季耶夫首先提出,多年来被各国广泛使用,在编制经济计划、经济预测以及研究污染、人口等社会问题中发挥了很大的作用.列昂季耶夫因此获得了1973年诺贝尔经济学奖. 列昂季耶夫提出以下假设:一 国民经济划分为几个生产部门,每个部门生产一种产品;二 每个部门将其他部门产品加工为本部门产品,在这一过程中,消耗的其他部门产品为“投入”,本部门产品为“产出”. * * * * 投入产出模型创始人 瓦西里·瓦西里耶维奇·列昂季耶夫（俄语：Василий Васильевич Леонтьев；英语：Wassily Leontief，1905年8月5日－1999年2月5日）是一位俄裔美国经济学家，后移居美国任教于哈佛大学.他以“投入产出理论”对于经济学的贡献获得了1973年诺贝尔经济学奖.1928年他以国民政府铁道部的顾问身份访问中国一年，往后他不时地利用在中国时的经验解释“投入产出理论”. * * * * * 他出生于德国慕尼黑，在俄罗斯的圣彼得堡成长，他的 父亲老列昂季耶夫（Wassily W. Leontief）是一位经济 学教授。他15岁就进入了父亲执教的列宁格勒大学攻读 哲学，也选修了一些经济学的课程。19岁（1925年） 时便获学士学位，同年移居德国进入柏林大学专攻 经济学，22岁时（1928年）获经济学博士学位。他离 开俄国的原因跟他公开反对共产主义有关，他甚至为 此数度被逮捕和监禁。 * * * * * §7 投入产出分析简介 一、投入产出表 设有n个生产部门，分别用1,2, …，n表示，第i个部门只生产产品i，根据报告期的统计数据列表如下 中间产品 中间投入