导数经典例题高二文科导数经典例题高二文科.pptVIP

例9. 证明方程sinx = x 只有一个实根 * 导数及其应用 -----经典例题 ? 探究点1　导数的几何意义 例1.已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处导数值为0 （1）求f(x)的解析式； （2）过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程. [解析] （1）f ′(x)=3ax2+2bx-3.依题意f ′(1)=f ′(-1)=0 （2）令f ′(x)=0,得x=±1,点A(0,16)不在曲线y=x3-3x上设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足：y0=x30-3x0 ∵f ′(x0)=3x20-3,∴切线方程为y-y0=3(x20-1)(x-x0) 又点A(0,16)在切线上,∴16-（x30-3x0）=3(x20-1)(-x0) 解得x0=-2,∴切点为M(-2,-2) ∴切线方程为9x-y+16=0 练习：求垂直于直线 并且与曲线 相切的直线方程 　　 ? 探究点2　导数的运用　 例2 　　 ? 探究点3　利用导数求解函数的单调区间 例3.求函数y=x2-2lnx的单调区间. [解析] 首先注意定义域x0， [点评] 求单调区间可用求导方法，但一定要注意定义域. 　　 ? 探究点4　已知单调区间求解参数范围 变式2若函数 在区间 内为减函数，在区间 上为增函数，试求实数 a的取值范围． 　　 ? 探究点5　利用导数求函数极值 　　 ? 探究点6　利用极值求参数 例6.已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R)， （1）若函数f(x)在x=-1和x=3时取得极值，试求a、b的值； （2）在（1）的条件下，当x∈［-2,6］时，f(x)＜2|c|恒成立，求c 的取值范围. （需要检验） （2）f(x)=x3-3x2-9x+c,f ′(x)=3x2-6x-9，当x变化时，有下表 而f(-2)=c-2,f(6)=c+54;∵x∈［-2,6］时f(x)的最大值为c+54 f(x)＜2|c|恒成立，而且仅当c+54＜|c|恒成立 当c≥0时，c+54＜2c，解得c＞54 当c＜0时，c+54＜-2c，解得c＜-18 ∴c的取值范围是(-∞,-18)∪(54,+∞) 极小值 c-27 极大值 c+5 f(x) + 0 - 0 + f ′(x) (3,+∞) 3 (-1,3) -1 (-∞, -1) x [解析] （1）∵f(x)在x=-1和x=3时取得极值。 ∴-1、3是方程f ′(x)=3x2-2ax+b=0的两根 例7.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5,其导函数 y=f ′(x)的图象经过点（1,0）,（2,0）,如图所示，求： （1）x0的值；（2）a,b,c的值. [解析] （1）由图象可知在（-∞,1）上f ′(x)0，在（1，2）上f ′(x)0，在（2，+∞）上f ′(x)0. 故f(x)在(-∞,1),(2,+∞)上递增，在（1，2）上递减，因此f(x)在x=1处取得极大值5，所以x0=1. （2）f ′(x)=3ax2+2bx+c 由f ′(1)=0,f ′(2)=0,f(1)=5 ? 探究点7　数形结合 解得a=2,b=-9,c=12. [点评] 本题是一道识图题与文字理解相结合题目，需要从图形中提取信息，并且要注意极大值点的意义. 变式: 设函数 的图象如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极小值为-4， （1）求a，b，c的值；（2）求函数的递减区间． 　 ? 探究点8 区间上的函数最值 (包括闭区间、开区间和一般的区间) 已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)． (1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值． ? 探究点9　利用导数证明问题