章概率论的基本概念.ppt

* * 例6 对以往数据分析结果表明, 当机器调整得良好时, 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时, 其合格率为55%. 每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为95％. 试求已知某日早上第一件产品是合格品时, 机器调整良好的概率是多少?解 设A为事件产品合格,B为机器调整良好 * * 这就是说, 当生产出第一件产品是合格品时, 此时机器调整良好的概率为0.97. 这里, 概率0.95是由以往的数据分析得到的, 叫做先验概率. 而在得到信息(即生产出第一件产品是合格品)之后再重新加以修正的概率(即0.97)叫做后验概率. 有了后验概率我们就能对机器的情况有进一步的了解. * * * * 本题结果表明, 虽然 这两个概率都比较高, 但若将此试验用于普查, 则有P(C|A)=0.087, 亦即其正确性只有8.7%(平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人确患有癌症), 如果不注意到这一点, 将会得出错误的诊断, 这也说明, 若将P(A|C)和P(C|A)混淆了会造成不良的后果. * * 补充例题: 有12个乒乓球都是新球,每次比赛时取出3个用完后放回去,求第三次比赛时取到的3个都是新球的概率. * * §6 独立性 * * 设A,B是试验E的两事件, 若P(A)0, 可以定义P(B|A). 一般, A的发生对B发生的概率是有影响的, 这时P(B|A)?P(B), 只有在这种影响不存在时才会有P(B|A)=P(B), 这时有 P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B) * * 例1 设试验E为抛甲,乙两枚硬币, 观察正反面出现的情况. 设事件A为甲币出现H, 事件B为乙币出现H. E的样本空间为S={HH,HT,TH,TT}, A={HH,HT}, B={HH,TH}AB={HH}. 则有 可知P(B|A)=P(B), 而P(AB)=P(A)P(B). 事实上, 由题意, 甲币是否出现正面与乙币是否出现正面是互不影响的. * * 定义 设A,B是两事件, 如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B), (6.1)则称事件A,B相互独立, 简称A,B独立.容易知道, 若P(A)0,P(B)0则A,B相互独立与A,B互不相容不能同时成立.定理一 设A,B是两事件, 且P(A)0, 若A,B相互独立, 则P(B|A)=P(B)反之亦然. * * * 定义 设A,B,C是三个事件, 如果满足等式 则称事件A,B,C相互独立. 一般, 设A1,A2,...,An(n?2)个事件, 如果对于其中任意2个, 任意3个, ..., 任意n个事件的积事件的概率, 都等于各事件概率之积, 则称事件A1,A2,...,An相互独立. * * 由定义可以得到以下两点推论.1,若事件A1,A2,...,An(n?2)相互独立, 则其中任意k(2?k?n)个事件也是相互独立的.2,若n个事件A1,A2,...,An(n?2)相互独立, 则将A1,A2,...,An中任意多个换成它们的对立事件, 所得的n个事件仍相互独立. * * 两事件相互独立的含义是:它们中一个已发生, 不影响另一个发生的概率.  在实际应用中, 对于事件的独立性常常是根据事件的实际意义去判断.一般, 若由实际情况分析, A,B两事件之间没有关联或关联很微弱, 那就认为它们是相互独立的. 例如, A,B分别表示甲乙两人患感冒. 如果甲乙两人的活动范围相距甚远, 就认为A,B相互独立, 若甲乙两人是同住在一个房间里的, 那就不能认为A,B相互独立了. * * 例2 一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性. 如图, 设有4个独立工作的元件1,2,3,4按先串联再并联的方式联接. 设第i个元件的可靠性为pi(i=1,2,3,4), 求系统的可靠性. 1 2 3 4 * * 解 以Ai(i=1,2,3,4)表示事件第i个元件正常工作, 以A表示系统正常工作. A=A1A2?A3A4由系统的独立性, 得系统的可靠性:P(A)=P(A1A2)+P(A3A4)-P(A1A2A3A4) =P(A1)P(A2)+P(A3)P(A4)-  P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) =p1p2+p3p4-p1p2p3p4 * * 例3 要验收一批(100件)乐器, 验收方案如下: 自该批乐器中随机地取3件测试(设3件乐器的测试是相互独立的), 如果3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯, 则这批乐器就被拒绝接收. 设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95,