章微分中值定理与导数的应用.pptVIP

第一节 微分中值定理 定理1（费马(Fermat)定理）设f(x)在 内有定义，若f(x)在 可导且对任意的 ∈ 有 （或 ）,则 第三节 泰勒公式 一、 泰勒公式 将一个复杂函数f(x)用一个多项式Pn(x)＝a0＋a1x+…+ a1xn来近似表示 当?x?很小时,有ex≈1+x,sinx≈x, 两点不足： (1)精度不高,误差仅为x的高阶无穷小o(x); (2)没有准确好用的误差估计式． 设f(x)在U(x0)内有直到n+1阶导数． (1) 试求一个关于x-的n次多项式  使得在x0附近,有f(x)≈pn(x),换言之,要求  即f(x)和pn (x)在x=x0处的函数值及k阶(k≤n)导数值相等. (2) 给出误差f(x)- pn(x)的表达式． 将x=x0代入pn (x)的表达式,得到 对pn (x)求导,再将x=x0代入,得到 对p?n (x)求导,再将x=x0代入,得到 定理(泰勒中值定理) 设函数f(x)在(a,b)内具有直到n+1阶导数,x0∈(a,b),则对于任意x∈(a,b),有  其中 (?介于与x之间) 证 令G(x)= (x=x0)n+1 函数f(x)在x= x0点的n阶泰勒展开式. 在(a,b)内具有直到n+1阶的导数,且易求出 对Rn(x)与G(x)在相应区间上使用柯西定理n+1次, 有 拉格朗日型余项 拉格朗日中值定理可看作是零阶(n=1)拉格朗日型余项的泰勒公式 对于多项式pn(x)近似表达函数f(x),对于某个固定的n,当x在开区间(a,b)内变动时有 ≤M(M为常数),则其误差有估计式 .而且 =0.从而当x→ x0时,Rn(x)是关于 的高阶无穷小,即余项又可以表示为 称这种形式的余项为皮亚诺(Peano)余项． 当x0 =0时的泰勒公式,又称为马克劳林公式 具有拉格朗日型余项的马克劳林公式也可写成 二、 函数的泰勒展开式举例 例 求f(x)=ex的n阶麦克劳林公式. 解 例 求f(x)=sinx的n阶麦克劳林公式. 解 例 求f(x)=ln(1+x)的n阶麦克劳林公式. 解 第四节 函数的单调性与极值 一、 函数的单调性 定理1 设f(x)∈C([a,b]),且在(a,b)内可导,则 (1) 若对任意x∈(a,b),有f?(x)＞0,则f(x)在[a,b]上严格单调增加; (2) 若对任意x∈(a,b),有f?(x)＜0,则f(x)在[a,b]上严格单调减少. 证 对任意x1 , x2 ∈[a,b], 设x1 x2 ,由拉格朗日中值定理 由f?(x) ＞0,得f?(?) ＞0,故f(x2 )＞f(x1),(1)得证.类似地可证(2). 证 因sinx∈( [-? /2, ? /2]), (sinx)?=cosx0, x∈(- ? /2, ? /2), 所以y=sinx在[- ? /2, ? /2]上严格单调增加. 例 证明y=sinx 在[-?/2, ? /2]上严格单调增加. 函数单调增减区间的分界点是导数为零的点或导数不存在的点. 如果函数在定义域区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在,那么只要用f?(x) =0的点及f?(x)不存在的点来划分函数的定义域区间,在每一区间上判别导数的符号,便可求得函数的单调增减区间． 例 证 二、 函数的极值 定义1 设f(x)在x0的某邻域U(x0)内有定义.若对任意x∈ (x0),有 f(x)＜f(x0)[f(x)＞f(x0)], 则称f(x)在点x0处取得极大值(极小值)f(x0),称为极大值点(极小值点)． 极大值和极小值统称为极值,极大值点和极小值点统称为极值点 通常称f?(x)=0的根为函数f(x)的驻点. 可导函数的极值点一定是驻点． 例 解 例 解 第五节 最优化问题 求一