Ch5_1_2牛顿插09用.pptVIP

5.1.5.II 牛顿插值 (Newton’s Interpolation) Lagrange 插值虽然易算, 但若要增加一个节点时, 全部基函数 li(x) 都需要重新计算。 本讲主要内容: ? Newton插值多项式的构造 ? 差商的定义及性质 ? 插值函数的精度 2. 差商概念 (亦称均差 divided difference ) (1) 差商定义 设实数 x0,x1, ?, xn 互异 , 一般情况，可用归纳法证明。 前几阶差商的表达式 一阶差商 二阶差商 性质1 表明， 差商具有对称性. 即, 差商的值与结点排列顺序无关. 性质3 (差商与导数的关系) 把第(2), (3),…,( n + 1) 式依次代入第 (1) 式, 有 牛顿插值多项式 Nn(x) 与 Lagrange 插值多项式 Ln(x) 都是过给定节点 x0,x1, ?, xn 的n 次多项式. 过 n ?1 个点的 n 次多项式是唯一的, 可知 Nn(x) ? Ln(x)， 从而, 它们的余项也相同，即 使用96页公式 (5.7), 有 N2(x)=0.78846 + 0.43505(x ? 2.20) ? 0.087375(x ? 2.20) (x?2.40) N3(x)= 0.78846 + 0.43505(x ? 2.20） ? 0.087375(x ? 2.20)(x ? 2.40) +0.0225(x ? 2.20)(x ? 2.40)(x ? 2.60) N4(x)= 0.78846 + 0.43505(x ? 2.20） ? 0.087375(x ? 2.20)(x ? 2.40) +0.0225(x ? 2.20)(x ? 2.40)(x ? 2.60) ? 0.00755(x?2.20)(x?2.40)(x?2.60)(x?2.80) 3. 插值函数的精度 利用插值函数 pn(x) 来近似计算被插函数 f (x) 在区间[a, b]上任意点的函数值, 理论说明高次插值不可取. 下面观察误差情况. 5.1.2 二元函数插值 1. 概念 设实值函数 f (x, y) 定义在矩形区域 D ?{ a ? x ? b, c ? y ? d }, 插值节点集: Z ?{(xi , yj)| a ? x0? x1 ??? xn-1? b, c ? y0? y1 ? ? ? ym-1? d }. 基函数：取在 Z 上线性无关的函数组 ?? kr ?x, y? | k ? 0,1, ?, n; r ? 0,1, ?, m?. 其中, ?kr?x, y? 是关于 x 次数不高于 n , 关于 y 不高于 m 的二元多项式. 目标：在函数空间 D ?Span??00, ?, ?0m, ?, ?n0, ?, ?nm ? 中寻找二元插值多项式 使其满足插值条件 此问题就是二元函数的代数插值问题. 如同一元的情况, 满足插值条件(5.11)的二元插值函数是唯一存在的. 2. Lagrange 插值曲面的构造 取插值基函数 式(5.13)叫做 Lagrange 形式的插值曲面. 近似式 ?(x, y) ? pnm(x, y) (5.14) 叫做二元函数的 L-插值公式. 式 (5.14) 的余项 或 截断误差为 Rnm(x, y) ? ?(x, y) ? pnm(x, y) 数学符号 x0,x1, ?, xm, ??0?x?,?1?x?, ?, ?n?x?, ? ?, a ? x0 ? x1 ? ? ? xm?b ,, f (x) ? a0 ?a1x ? ? ? amxm, a1 a2 ? ak a1, ?, am, ?L0?x?, L1?x?, ?, Ln?x??, k=0,1, ?, n ?(x) , ? ??x??0 n ?20 a ? x ? b k ? 1, n?m, q ?0, ?n+1 q ?1, ??(a) ?0 ? ?? ? n?? ?? ? ? ????? ??? ??????? ΓΔΘΛΞΦΨΩ ?k ?0 f (x)?C[a, b] (xj,yj),j=0,1,…,m, Δ A, ? A?Rn?n, b, ? b?Rn,Ax=?x ? A(kx)=?(kx) ? ? ? ??k ?s, ?k? s ??, ????? ????? ????? ????? ????? ????? ????? ??????? ? ????? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?