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海文考研数学二模考试卷 海文考研数学二模考试卷 参考解答 一、填空题 　　（1）【答案】 -4 　　【分析】 这是型极限，用相消法方便。分子、分母同除以， 　　原式= 　　　　= 　　其中 　　于是 　　因此 　　（2）【答案】 2e2 　　【分析】 先求出 　　将方程对求导得 　　 　　即 　　令，得再对求导并令得 　　　 　　因此该曲线在点（0,e）的曲率为 　　【评注】 求时，将方程 　　 　　对求导并令时 　　 　　（3）【答案】 1- 　　【分析】 由变限积分的性质知，可导，将方程两边求得 　　 ，即 　　这是一阶线性微分方程，两边乘得 　　 　　积分得 　　代入原方程 　　 　　 　　 　　 　　因此， 　　（4）【解答】 　　【分析1】 取对数：求全微分得 　　 　　令得 　　 　　【分析2】 先求偏导数. 　　 　　 　　 　　由 　　 　　（5）【答案】 6. 　　【分析】 确定使得下面的极限存在且不为0. 　　 = 其中 　 　　应填 　　 　　（6）【答案】 -25 　　【分析】 按特征值特征向量定义，有 　　 　　又 　　故 从而 　　　　　　　　　 　　因为线性无关，矩阵（）可逆.于是 　　 二、选择题 （7）【答案】 D. 　　【分析】 　　时 　　 　　　　　 　　　　　其中 　　即在处连续。 　　因此，选（D）。 　　（8）【答案】C. 　　【分析】考察是否是的极值点，是否是的拐点。因为 　　 　　于是 　　 　　 　　在（-1，0）是凸的，在（0，1）是凹的，可见（0，F（0））是其拐点。 　　由符号的变化情形还知道，是在（-1，1）的最小值，又，从而知在（-1，1）单调上升，在不取极值。 　　因此，选（C）. 　　(9) 【答案】B 　　【分析】可转化成求解微分方程的初值问题，将等式两边除以，并令，并注意 　　（可导必连续） 　　　　　　　　　　　　　　 　　于是得 　　这是一阶线性非齐次方程，两边乘以 　　得 　　两边积分 　　 　　 　　因此选（B）. 　　(10) 【答案】D 　　【分析】（A）（B）中的函数在给定区间上均连续，因而存在原函数。 　　（C）、（D）中的函数除外均连续，是它们的间断点。不同的是，（C）中是第二类间断点，（D）中是第一类间断点，指定的区间均含.因此选（D） 　　【评注】设定义在[]上，是的第一类间断点，则在[]不存在原函数。若是的第二类间断点，在[]是否存在原函数，要具体问题具体分析。 　　(11) 【答案】B. 　　【分析】这是二阶线性常系数齐次方程，其特征方程，特征根为 　　，它或为相异实根，或为重实根，或为共轭复根，不论哪种情形，均有特征根的实部是负的，注意。 　　 　　 　　其中为常数，因此对0的任一解均有.因此选（B）. 　　【评注】方程0的通解是下列三种情形之一： 　　1° 　　其中. 　　2° 　　3° 　　其中 　　（12）【答案】C 　　【分析1】是二重积分的一个 　　累次积分，其中如图 　　所示。 　　现改换成先后的积分顺序得 　　 　　=- 　　【分析2】用分部积分法求 　　 　　 　　 　　 　　. 　　(13) 【答案】B 　　【分析】因为，有 　　即 　　又因可逆，用左乘矩阵方程的两端，得 　　 　　从而 　　【评注】两个公式 （14）【答案】C 【分析】因为是矩阵A的特征值，可排除（B），（D）若是矩阵属于特征值的特征向量，则仍是矩阵属于特征值的特征向量，所以与仍分别是的特征向量。即那么 = 从而 三、解答题 （15）【分析与求解】（I）因为，由条件得 再由 （II） （16）【分析与求解】先配方再平移 【分析与求解2】配方后做三角函数代换 时， 注意 （17）【分析与求解】（I）在[0，+]单调上升，值域为[1，+]]存在反函数，记为，它在[1，+]连续（单调连续函数的反函数连续）。再由连续复合函数的连续性在[1，+）连续。 （II）由参数式求导法。 于是在[1，+）单调上升，又 因此在[1，+）是凸的。 （III） 又因在[1，+）连续，所以只有渐近线。 （18）【分析与求解】曲线在点（）的切线方程是 即 其中 所求问题等价于求此切线与直线轴和 轴所围成平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的 体