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高数易混淆概念 高等数学部分易混淆概念 第一章：函数与极限 一、数列极限大小的判断 例1：判断命题是否正确． 若 ，且序列 的极限存在， 解答：不正确．在题设下只能保证 ，不能保证 ．例如： ， ，而 ． 例2．选择题 设 ，且 （ ） A．存在且等于零 B. 存在但不一定等于零 C．不一定存在 D. 一定不存在 答：选项C正确 分析：若 ，由夹逼定理可得 ，故不选A与D. 取 ，则 ，且 ，但 不存在，所以B选项不正确，因此选C． 例3．设 （ ） A．都收敛于 B. 都收敛，但不一定收敛于 C．可能收敛，也可能发散 D. 都发散 答：选项A正确． 分析：由于 ，得 ，又由 及夹逼定理得 因此， ，再利用 得 ．所以选项A． 二、无界与无穷大 无界：设函数 的定义域为 ，如果存在正数 ，使得 则称函数 在 上有界，如果这样的 不存在，就成函数 在 上无界；也就是说如果对于任何正数 ，总存在 ，使 ，那么函数 在 上无界． 无穷大：设函数 在 的某一去心邻域内有定义（或 大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数 （不论它多么大），总存在正数 （或正数 ），只要 适合不等式 （或 ），对应的函数值 总满足不等式 则称函数 为当 （或 ）时的无穷大． 例4：下列叙述正确的是： ② ① 如果 在 某邻域内无界，则 ② 如果 ，则 在 某邻域内无界 解析：举反例说明．设 ，令 ，当 时， ，而 故 在 邻域无界，但 时 不是无穷大量，则①不正确． 由定义，无穷大必无界，故②正确． 结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大． 三、函数极限不存在 极限是无穷大 当 （或 ）时的无穷大的函数 ，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大． 例5：函数 ，当 时 的极限不存在． 四、如果 不能退出 例6： ，则 ，但由于 在 的任一邻域的无理点均没有定义，故无法讨论 在 的极限． 结论：如果 ，且 在 的某一去心邻域内满足 ，则 ．反之， 为无穷大，则 为无穷小。 五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等。 例7．求极限 解： ，因而 时 极限不存在。 ，因而 时 极限不存在。 六、使用等价无穷小求极限时要注意： （1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用。这时，一般可以用泰勒公式来求极限。 （2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换 例8：求极限 分析一：若将 写成 ，再用等价无穷小替换就会导致错误。 分析二：用泰勒公式 原式 。 例9：求极限 解：本题切忌将 用 等价代换，导致结果为1。 七、函数连续性的判断 （1）设 在 间断， 在 连续，则 在 间断。而 在 可能连续。 例10．设 ， ，则 在 间断， 在 连续， 在 连续。 若设 ， 在 间断，但 在 均连续。 （2）“ 在 点连续”是“ 在 点连续”的充分不必要条件。 分析：由“若 ，则 ”可得“如果 ，则 ”，因此， 在 点连续，则 在 点连续。再由例10可得， 在 点连续并不能推出 在 点连续。 （3） 在 连续， 在 连续，则 在 连续。其余结论均不一定成立。 第二章 导数与微分 一、函数可导性与连续性的关系 ???导必连续，连续不一定可导。 例11． 在 连读，在 处不可导。 二、 与 可导性的关系 （1）设 ， 在 连续，则 在 可导是 在 可导的充要条件。 （2）设 ，则 是 在 可导的充要条件。 三、一元函数可导函数与不可导函数乘积可导性的讨论 设 ， 在 连续，但不可导，又 存在，则 是 在 可导的充要条件。 分析：若 ，由定义 反之，若 存在，则必有 。用反证法，假设 ，则由商的求导法则知 在 可导，与假设矛盾。 利用上述结论，我们可以判断函数中带有绝对值函数的可导性。 四、在某点存在左右导数时原函数的性质 （1）设 在 处存在左、右导数，若相等则 在 处可导；若不等，则 在 连续。 （2）如果 在 内连续， ，且设 则 在 处必可导且 。 若没有如果 在 内连续的条件，即设 ，则得不到任何结论。 例11． ，显然设 ，但 ， ，因此极限 不存在，从而 在 处不连续不可导。 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、若