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一种求解有限循环群的子群的快速算法_平衡法
文章编号:100920193(2005)0420006205一种求解有限循环群的子群的快速算法———平衡法邹昌陆(贵州大学信息工程学院,贵州贵阳550003)摘要:对有限循环群的性质和群的分解进行了研究后,给出了一种求解有限循环群的子群的平衡法及实现程序和操作方法。与传统方法相比,该方法不仅简单、计算量少,而且操作性强,能求出有限循环群的所有子群及相应元素。关键词:循环群;拉格朗日定理;子群;同构中图分类号:O152.143文献标识码:A引言0群是抽象代数中最早的而且是最基本的一个代数系统,它也是现代数学中一个极其重要的概念,群论不仅在数学的各个分支有广泛的应用,而且在许多现代科学,诸如密码学、遗传学、计算机科学、量子力学、系统科学、数理经济学等领域也有很多应用。有限群论是群论的基础部分,也是群论中应用最为广泛的一个分支。近年来,随着有限群理论的迅速发展及其应用的日益增多,有限群论已经成为现代科技的数学基础之一,是一般科技工作者乐于掌握的一个数学工具。在相当长的时期中,决定有限群的结构一直是代数学中研究的重要课题。循环群的结构虽然简单,理论上已得出很多精辟的结论,但一般给出的求解有限循环群的子群的方法大都是较繁杂或者直接用定义进行求解。可操作性较差,难易掌握;该文正是在对有限循环群的性质和群的分解进行了研究后,总结出了一种求解有限循环群的子群的快速算法———平衡法。1预备知识1.1循环群未说明的术语和符号见文献[2.定义1:设G是群,若存在G使得G={ak|k∈Z},则称G为循环群,记作〈a〉,称a是G=a的一个生成元。根据元素的阶的性质,可知循环群共有两种类型:(1)当生成元a是无限阶元素时,a是一个无限阶循环群。,a-3,a-2,a-1,e,a1,a2,a3,}a={(2)当生成元a是有限阶元素时,如果a有阶为n,那么a是一个n阶循环群,且a={e,a1,a2,a3,,an-1}1.2循环群的性质欧拉函数Φ(n)的定义。设n是正整数,欧拉函数Φ(n)是小于等于n且与n互质的正整数个数。定理1设G=a为循环群(1)若G是无限阶循环群,则G一共有两个生成元:a和a-1.收稿日期:2005-03-17第4期邹昌陆:一种求解有限循环群的子群的快速算法———平衡法7(2)若G是n阶循环群,则G有Φ(n)个生成元。当n=1时,G=e的生成元是e,当n1时,对于每一个小于等于n的正整数r,ar是G的生成元当且公当(n,r)=1.在循环群a中任取一个元素ar,可以生成一个循环群ak.即循环群的子群都是循环群。定理2G=a是循环群,那么。(1)G的子群也是循环群;(2)若G是无限阶循环群,则G只有两个子群:{e}和无限阶的循环群G本身。(3)若G是n阶循环群,则G的子群的阶是n的因子,对于n的每个正因子d,在G中有且仅有唯一的一个d阶子群。1.3群的分解与拉格朗日定理群通常可以按两种方法分解:陪集分解或共轭类分解。由陪集分解可以得到拉格朗日(Lagrange)定理,按共轭类分解可以得到群的分类方程。定义2设G是群,H是G的子群,a∈G.令Ha={ha|h∈H},则称Ha是子群H在G中的一个右陪集。令aH={ah|h∈H},则称aH是子群H在G中的一个左陪集。定理3设G是群,H是G的子群,则(1)He=H;(2)Πa∈G,a∈aH;(3)Πa∈G,Ha≈H;=ab-1∈H;(4)Πa,b∈G,a∈Hb=Ha=Hbab-1∈H,则R为G上的等价关系,且[a]R=(5)在G上定义二元关系R,Πa,b∈G,aRb=Ha;(6)Πa,b∈G,Ha∩Hb=0或且∪Ha=G;a∈GHa=Hb定理4设G是群,H是G的子群,则(7)eH=H;(8)Πa∈G,a∈aH;(9)Πa∈G,aH≈H;=a-1b∈H;(10)Πa,b∈G,a∈bH=aH=bHa-1b∈H,则R为G上的等价关系,且[a]R(11)在G上定义二元关系R,Πa,b∈G,aRb==aH;(12)Πa,b∈G,aH∩bH=0或aH=bH且∪aH=G;a∈G定理5定义3[G:H,若定理6设G是群,H是G的子群,则H在G中的左陪集数与右陪集数相等。设G是群,H是G的子群,vb在G中的左陪集数(或右陪集数)叫做H在G中的指数,记作H={e},也可以将[G:H]记作[G:1.(拉格朗日定理)设G是有限群,H是G的子群,则|G|=G:H]|H|.推论有限群G中每个元素的阶都是G的阶|G|的因子,如果G的阶等于n,那么G中每个元素都满足方程xn=e2求有限循环群的子群的平衡法2.1平衡法由定理1、2和定理6可知,设G=a是n阶有限循环群,则(1)若n是素数,则G=a只有两个子群:{e}和G=a.(2)若n是合数,则G=a共有Φ(n)个子群,且它们的阶都是n的因子。贵州工业大学学报(自然科学版)2005年8
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