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函数与极限 小结 二、利用极坐标系计算二重积分 小结 一、问题的提出 二、曲面的面积 三、平面薄片的重心 四、平面薄片的转动惯量 六、小结 一、问题的提出 小结 积分概念的联系 计算上的联系 二、平面曲线积分与路径无关的条件 小结 一、曲面的分类 二、第二型曲面积分的概念性质 四、两类曲面积分之间的联系 三、物理意义----通量与散度 三、物理意义---环流量与旋度 向量微分算子 书例12 一阶微分方程 即存在二元函数φ(x,y),使得 则称(1)式为全微分方程或恰当方程。 结论：若(1)是全微分方程，则的通解为φ(x,y)=C 积分因子： 若(1)不是恰当方程，但乘上一个适当的函数μ(x,y), 称μ(x,y)为积分因子。 与路径无关的四个等价命题 条件 等 价 命 题 第三节 第二型的曲面积分 一、曲面的分类 二、第二型曲面积分的概念性质 三、第二型曲面积分的计算 四、两类曲面积分的联系 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面(莫比乌斯带). 典型双侧曲面 定义： 设∑是一光滑曲面，若对∑上的任意一点， 在选定了该点处的单位法向量的正向后， 当此点及它所对应的单位法向量沿曲面∑上任意闭曲线连续移动一周而返回该点时， 其正法向量保持与原方向一致， 称曲面∑是可定向曲面或双侧曲面， 否则称为不可定向曲面或单侧曲面， ?为一曲面: 由曲面上法向量的方向来确定正负侧. 方法：在曲面上任意点处确定法向量的正向， 确定了正向的法向量为曲面的正法向量， 正法向量所指的方向为曲面的正侧。 决定了侧的曲面称为有向曲面. 例如:曲面z=z(x,y),则曲面上任意点处的单位法向量 若取上侧为正侧， 法向量取正号 若取下侧为正侧， 法向量取负号 同理:曲面x=x(y,z), 如果正法向量指向前,则确定前侧为正侧, 后侧为负侧。 曲面y=y(x,z), 如果正法向量指向右,则确定右侧为正侧, 左侧为负侧。 实例: 流向曲面一侧的流量. 1. 分割 则该点流速为 . 法向量为 . 2. 求和 3.取极限 定义 设Σ为光滑的有向曲面,其单位正法向为 向量值函数 在Σ上有界, 如果当各小块曲面的直径的最大值 且此极限值与曲面的分法和点的取法无关， 则称此极限为向量值函数 沿有向曲面∑ 的第二型曲面积分，记为 第二型曲面积分的坐标表示形式 存在条件: 物理意义: 性质: 有向性 分域性质 线性性质 三、计算法 三、两类曲线积分之间的联系： 例1 计算 其中L为（1） 上按逆时针方向的上半圆； （2）从点A(1,0)沿x轴到B(-1,0)的直线段 （1）L的参数方程：x=cost，y=sint. t从0变到π， 解 A B A B （2）L的方程：y=0，x从1变到-1， 两个曲线积分的被积函数相同,起点和终点也 相同,但沿不同路径得出的积分值并不相同 例2 计算 其中L(1) 从O(0,0)到B(1,1)的一段弧； (2) 直线y=x从O(0,0)到B(1,1)直线段； (3) 连接O(0,0),A(1,0),B(1,1)的有向折线 解 (1) L： , x从0到1， (2) L：y=x，x从0到1 A B O (3) L=OA+AB A B O OA：y=0，x从0到1； AB：x=1，y从0到1. 被积函数与起点、终点相同而路径不同的曲线积分, 其值也可能相同,说明有些曲线积分与积分路径无关 其中Γ为从点A（1,1,1）到B（2,3,4）的直线段 例3 计算 解 AB的方程为 化成参数方程：x=t+1，y=2t+1，z=3t+1，t从0到1 第二节 格林公式 一、格林公式 二、平面曲线积分与路径无关的条件 三、全微分与全微分求积 一、格林公式 正向规定为：沿此方向前进时，边界曲线L所围成的平面域D总在他的左边 定理2 (1)先假设区域D既是X-型又是Y-型 证 同理 (2) D 注意到沿辅助曲线的曲线积分相互抵消 G D F C E A B (3) 由(2)知 G 1. 简化曲线积分 2. 简化二重积分 3. 计算平面面积 x y o G y x o B A 定义：如果在区域G内有 设D为一平面域，如果D内任意闭曲线所包围的全体点都属于D，则称D为单连通域. 否则称D为复连通域 D D 从直观上看，单连通域是不含有“洞”的区域． 定理3 设函数P(x,y),Q(x,y)在单连域D内具有一阶连续偏导数，则下面三个条件相互等价： (3) 在D