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第九章 无风险套利原理与衍生产品定价 第一节无风险套利原理 一、基本符号 二、投资策略和自融资策略 三、无套利市场的两个结论 定义9-1 自融资策略H称为在[0,T]内存在套利机会，如果存在T*?[0,T]，使得W0(H)=0，有WT*(H)?0，并且Pr[WT*(H) 0]0，这里Pr[?]表示?发生的概率。 定义9-2 对于任意自融资投资策略H，如果在任意时间段[t1,t2]?[0,T]内都不存在套利机会，那么称市场在时间段[0,T]是无套利的。 定理9-1 如果市场在时间段[0,T]是无套利的，则对任何两个投资组合H1和H2，如果WT(H1)?WT(H2)以及Pr[WT(H1)WT(H2)]0成立，那么对于任意t?[0,T)，必有Wt(H1)Wt(H2) 推论9-1 假设在时间段[0,T]内金融市场无套利，投资组合H1和H2有WT(H1)=WT(H2)，那么对任意的时间，时刻t?[0,T)，必有Wt(H1)=Wt(H2) 欧式期权（European option），期权持有者只能在到期日当天决定执行或不执行期权合约。 三种方法进行期权定价： 资产组合复制方法； 概率方法； 博弈论方法。 组合计算期权的价值 构造投资组合V(0)=aS(0)+bA(0)，是股票的衍生产品C的复制资产，A(0)=1，A(t)=ert， 在t时刻，Vu=aSu+bert=Cu，Vd=aSd+bert=Cd 那么，可解得 组合复制期权的价值 那么 或表述为 其中 称为风险中性概率 二、概率方法 假想的投资者（hypothesis investor）为风险中性投资者，E(K)=r，其中K为风险资产收益率，r为同期的无风险利率。 引入特殊概率符合p*及相应期望符合E*，若E*(K)=r，则称p*为风险中性概率，E*为风险中性期望。 例，A(0)=100，A(1)=110，A(2)=121，且股票价格有4种可能状况（左表），计算每一个状况相应的风险中性概率。 例，A(0)=100，A(1)=110，A(2)=121，且股票价格有4种可能状况（左表），计算在时间2可以施权价X=85购买股票的欧式看涨期权在时间n=0,1,2时的市场价格 三、博弈论方法(单期二叉树定价) 构造套期保值资产组合V(0)=C(0)-aS(0)，假设S(1)=Su or Sd，则期权C(1)=Cu or Cd。 选择适合的a，使得组合的价值与股票的升降无关，即 Cu-aSu=Cd-aSd，Vu=Vd 组合无风险，即 V(0)=e-rtVu=e-rtVd 那么C(0)=aS(0)+e-rtVu 博弈论方法（单期二叉树） 举例 设S(0)=100，Su=120，Sd=80，连续复利rc=0.01，求施权价为100的欧式看涨期权的市场价格。 解：构造组合V(0)=C(0)-aS(0)， 由Vu=Vd，即20-a*120=0-a*80，则a=0.5； 由V(0)=e-rtVu=e-rtVd，可得C(0)?5.79 * * * 投资人希望一年后他手里的投资价值至少和同期的无风险利率的投资收益相当。 价值 时间 价值相当 无风险国债 股票+期权 1年 0 第二节 金融衍生品定价方法简介 期权概述 IBM公司“定单的困惑” 客户向公司定购2500万美元的特殊电脑系统，技术中心提出需要100万美元的研究费用设计生产方案。 50%可能，设计出成本为1000万美元的方案 50%可能，设计出成本为4000万美元的方案 问题：是否把100万拨给技术中心？ 期权的分类 按照期权合约的标的资产划分，商品期权和金融期权合约，金融期权又可分为利率期权、外汇期权、股价指数期权、股票期权以及金融期货期权 按期权买者执行期权的时限划分，期权可分为欧式期权和美式期权 按期权买者的权利划分，期权可分为看涨期权(Call Option，买方期权)和看跌期权(Put Option，卖方期权) 按应用领域划分，期权可分为金融期权和实物期权 期权双方的权利和义务 对于期权的买者来说，期权合约赋予他的只有权利，而没有任何义务。 作为给期权卖者承担义务的报酬，期权买者要支付给期权卖者一定的费用，称为期权费（Premium）或期权价格（Option Price）。期权费视期权种类、期限、标的资产价格的易变程度不同而不同。 期权的交易场所 期权交易场所既有正规的交易所，也有场外交易市场。交易所交易的是标准化的期权合约，场外交易的则是非标准化的期权合约。 对于场内交易的期权来说，其合约有效期一般不超过9个月，以3个月和6个月最为常见。由于有效期不同，同一种标的资产可以有好几个期权品种。此外，同一