15异面直线距离的基本求法.doc

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明 异面直线距离的基本求法 异面直线距离的三种求法 异面直线的距离建立在异面直线的如下性质之上:有且仅有一条直线与两条异面直线垂直且相交,两垂足间的线段叫做公垂线段,公垂线段的长度,叫做两条异面直线的距离;求异面直线的距离是立体几何的一个难点. [母题结构]:求异面直线距离的基本方法. [解题程序]:求异面直线距离的方法多样,基本方法有:公垂线段法、性质转移法和函数最值法. 1.公垂线段法 子题类型Ⅰ:(2007年全国高中数学联赛吉林初赛试题)在棱长为1的正四面体ABCD中, M、N分别为AD、BC的中点,则异面直线AB与MN的距离是 . [解析]:如图,分别取AB、CD的中点E、F,联结EN、NF、FM、ME、EF.MN、EF交于点O,显然四 边形ENFM是菱形,故MN⊥EF,又EF⊥AB,且EO=EF=异面直线AB与MN的距离=. [点评]:公垂线段法的关键要会作出直线的公垂线,再求其长,这是解题时首先要考虑的方法;其中取等腰三角形底边上的中点,利用等腰三角形底边上中线垂直于底边是构造公垂线段的常用方法. 2.性质转移法 子题类型Ⅱ:(1989年全国高考试题)如图,已知圆柱的底面半径是3,高是4,A、B两点分别在两底面 的圆周上,并且AB=5,那么直线AB与轴O之间的距离等于 . [解析]:(线面法O∥AH直线AB与轴O之间的距离=直线O与平面ABH的距离=点到平面ABH的距离;又平面ABH⊥底面点到平面ABH的距离=点到直线BH的距离;在Rt△ABH中,由AB=5,AH=4BH= 3△AH是边长为3的正三角形点到直线BH的距离=. (射影法AB在底面上的射影是直线BH,直线OO1在底面上的射影是点O1异面直线AB与轴OO1的距离=点O1到直线BH的距离;在正△BHO1中,BH=3点O1到直线BH的距离=. [点评]:转移法包括:①线面平行法,即过其中一条直线作与另一条直线平行的平面,则异面直线间的距离转化为线面距离;②面面平行法,即分别过其中的一条作与另一条直线平行的平面,则异面直线间的距离转化为面面距离;③射影转移法,即作其中一条直线的垂面,则异面直线间的距离转化为点线距离. 3.函数最值法 子题类型Ⅲ:(2013年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)长方体ABC-A1B1C1D1中,AB=AA1=4,AD=3, 则异面直线A1D与B1D1的距离为 . [解析]:分别在A1D,B1D1上取点P,Q,作PM⊥A1D1于M,QN⊥A1D1于N,设A1M=x,D1N=y,则PM=x,QN=yPQ2=PM2+MN2+NQ2= (x)2+(3-x-y)2+y2=x2+2(y-3)x+2y2-6y+9≥2y2-6y+9-(y-3)2≥异面直线A1D与B1D1的距离为. [点评]:由异面直线上两点距离的最小值是两异面直线的距离,利用此结论,恰当的选择变量,构造异面直线上两点距离的二次函数,利用求二次函数最值来解,这种解法称为函数最值法. 4.子题系列: 1.(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)已知点P在△ABC所在平面外,直线PA与AB、AC所成的角均为arcsin,且AB=AC=,BC=,则异面直线PA与BC的距离是 . 2.(1996年第七届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC与B1D间的距离是( ) (A) (B)1 (C) (D) 3.(2001年全国高中数学联赛试题)正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,则直线A1C1与BD1的距离是 . 4.(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)a,b是异面直线,a,b在不过a,b的一个平面α内的射影分别是直线c,d,若c∥d,且c与d间的距离是1,那么a,b之间的距离是 . 5.(1994年第五届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则对角线A1C1与BD1所在的直线的距离是 . 6.(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)在棱长为1的正方体中,相邻两面中异面的两条对角线的距离是 . 7.(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,AB1与BC1的距离等于 . 8.(2012年全