【精选】2.1外测度与测度2.1外测度与测度.pdfVIP

第二章 Lebesgue 测度 从本章开始，我们将逐步介绍实变函数理论的核心内容 ——Lebesgue 测度与积分． 19 世纪的数学家们已经意识到仅有连续函数与积分的 古典理论已经不足以解决数学分析中的许多问题．为克服 Riemann 积分在理论上的局限性，必须改造原有的积分定 义．大家知道，对于[a ,b]上的正值连续函数f (x ) ，其积分的 几何意义是平面曲边梯形 G( f ) {( x, y) : x[a, b], 0  y  f ( x)} 的面积．因此，积分的定义以及一个函数的可积性，是与相 应的下方图形面积如何确定以及面积是否存在密切相关．从 这一角度看问题，过去我们所说的不可积函数f ，就反映在 平面点集G( f ) 的“面积”不存在的问题上．于是，如果我们 想要建立能够应用于更大函数类的新的积分理论，自然希望 把原有面积概念加以推广，以使更多的点集能够具有类似于 面积性质的新的度量． 总之，我们希望对于一般的n 中的点集 E 给予一种度 量，它是长度、面积以及体积的概念的推广．如果记点集 E 的这种度量为m(E ) ，那么自然应要求它具有某些常见的性质 或满足一定的条件．此时，称度量m(E ) 为 E 的测度，以1 为 例，我们提出条件： （1）m(E )  0 ； 山东农业大学 数学系 于瑞林 （2 ）可合同的点集具有相同的测度； （3 ）若E , E , ,E ,是互不相交的点集，则 1 2 n   m(E )  m(E ) ． i i i1 i1 条件（3 ）称为可数可加性，正是这种可数可加性使建立在 测度论基础上的积分有了新的功能． §2 ．1 外测度与可测集 教学目的 本节在集合外测度的基础之上，结合 Caratheodor 条件，构造出一个重要的测度，即欧氏空间n 上的 Lebesgue 测度．Lebesgue 测度的建立，为定义 Lebesgue 积分打下基 础． 本节要点 利用外测度的定义和 Caratheodor 条件，可以较 快的构造出 Lebesgue 测度．进过验证，Lebesgue 测度具有 基本的运算性质．同学们应利用较多的例题，习题和几何直 观逐步加深对 Lebesgue 测度的理解． 大家知道，用古典积分计算下方图形G( f ) 的面积，基 本上是从其内部小矩形的面积出发来逐步进行计算的．显 然，这种计算方法只是对具有内点的点集有效．为了对一般 点集也能度量出某种“面积”来，我们放弃从点集内部扩张 的做法，而从其外部挤压的方针，即用矩形去覆盖点集．然 后来计算这些矩形的面积总和．当然，这种覆盖方式多种多 样．一般说来，这样的覆盖所盖住的点集要比原点集的“面 山东农业大学 数学系 于瑞林 积”大．因此，在这里，取一切这种覆盖所求出矩形面积总 和的下确界来代表它的某种度量是很正常的．另外还有一个 问题：每次覆盖所用的矩形是多少个？若只允许有限个，则 由此建立的度量就是所谓的Jordan 容度．这种度量在数学史 上占有一定地位，但因有严重缺陷而被改造．也就是说，现 在采用的覆盖，允许有可数个矩形参加．这一革命性举措正 是 Lebesgue 所创，使得由此所建立的点集的度量理论呈现崭 新的面貌，也使 Lebesgue 积分论称为进入现代分析的大门． 一． 外测度的定义 1. 方体的体积 我们将要定义的 Lebesgue 测度是熟知的长度， 面积和 体积概念的推广，因此我们先对