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勾股定理证法 勾股定理，是一个历史悠久而重要的定理，是代数方法解答几何 问题的工具之一。各大文明古国均有勾股定理的应用记载，在中国勾 股定理又称“商高定理”，在西方，又称“毕达哥拉斯定理”。勾股定 理形式简洁，自古吸引了众多数学家，数学爱好者，甚至总统的研究 论证。据说到目前为止，证法有400 种之多。 初中二年级开始学习勾股定理，开始了数学上数形结合思想的认 识，为后续的函数等内容作基础。以下列举初二学生常见的几种证法， 可供课余了解，加深对勾股定理的认识。 【证法1】 做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜 边长为c，再做三个边长分别为a、b、c 的正方形，把它们像上图那 样拼成两个正方形。从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b， 所以面积相等。 即， 2 2 1 2 1 a b 4  ab c 4  ab 2 2 得， a2 b2 c2 a b b a a a c a a c b c a b b c b b b c c a a b a b 【证法2】 以a、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直 1 ab 2 角三角形的面积等于 。把这四个直角三角形拼成如图所示形状， 使A 、E、B 三点在一条直线上，B、F、C 三点在一条直线上，C、G、 D 三点在一条直线上。 D b G a C a c b c H F c c b a A a E b B ∵RtΔ HAE ≌ RtΔ EBF， ∴∠AHE = ∠BEF。 ∵∠AEH + ∠AHE = 90º， ∴∠AEH + ∠BEF = 90º， ∴∠HEF = 180º―90º= 90º， 2 ∴四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 。 ∵RtΔ GDH ≌ RtΔ HAE， ∴∠HGD = ∠EHA， ∵∠HGD + ∠GHD = 90º， ∴∠EHA + ∠GHD = 90º。 又∵∠GHE = 90º