Jacobi G-S SOR迭代法在matlab中的例子Jacobi G-S SOR迭代法在matlab中的例子.pdf

[数值分析报告] [数学基地班 赵晨晓 2011301000007] 关于Jacobi G -S SOR 方法的收敛速度比较 摘要：本论文主要通过判断比较Jacobi G -S SOR 三种 计算方法的收敛速度，来分析三种算法的优劣。辅助软件为 MATLAB 。 随着计算技术的发展，计算机的存储量日益增大，计算速 度也迅速提高，直接法在计算机上可以求解的线性方程组的 规模也越来越大，但直接法大多需要对系数矩阵A 进行分解， 因此一般不能保证A 的稀疏性。而实际应用中，特别是偏微 分方程的数值求解时，常常遇到的就是大型稀疏线性方程的 求解问题。因此寻求能够保持稀疏性的有效算法就成为数值 线性代数中的一个非常重要的研究课题。 一、三种迭代方法内容简介 Jacobi 迭代 考虑非奇异线性代数方程组 Ax=b （1） 令 A=D-L-U （2） 其中，D 为严格下三角阵，L 为严格上三角阵，那个（1）可 写为x=Bx+g （4） -1 -1 其中，B=D (L+U),g=D b.若给定初始向量 （0 ） （0） （0） T X = （x ，x ，，，，x ） ，并代入（4）的右端，就 0 1 2 n 可以计算出一个新的向量x ，即x =Bx +g ； 1 1 0 1 / 15 [数值分析报告] [数学基地班 赵晨晓 2011301000007] 再把x 代入（4）右端，又可得到一个向量x ；以此类推有 1 2 X =Bx +g ，k=1 ，2 ，3 ，，， （5） k k-1 这被称为jacobi 迭代格式。B 称为jacobi 迭代的迭代矩阵，g 称为常数项。 Gauss-Seidel 迭代 假设不按jacobi 格式，而是在计算xk 的第一个分量用xk-1 的各个分量计算。但当计算xk 的第二个分量x2 （k）时，因x1 （k） （k-1） （k-1） 已经算出，用它代替x1 ，其他分量仍用xi 。类似 （k） （k ） （k ） 的，计算xl 时，因x1 ，，，xl-1 都已算出，用它们代替 （k-1） （k-1） x1 ，，，，xl-1 ，其他分量仍用xk-1 的分量，于是有 -1 -1 X =D Lx +D Ux +g ， k=1 ，2 ，，，（6） k k k-1 这种迭代格式被称为 Gauss-Seidel 迭代。它的一个明显好处 -1 是在编写程序时存储量减少了。若（D-L ） 存在，G-S 迭代 可以改写成 -1 -1 X = （D-L ） Ux + （D-L ） b