2012安徽师大附中自主招生数学试卷及答案2012安徽师大附中自主招生数学试卷及答案.docVIP

□□ 2012安徽师大附中自主招生 数 学 试 卷 题 号 一 二 总 分 得 分 一、填空题（本大题共8小题，每小题7分，共56分. 把答案填在题中横线上） 1．若，则的值是 ． 2．有6个量杯、、、、、，它们的容积分别是16毫升、18毫升、22毫升、23毫升、24毫升和34毫升．有些量杯中注满了酒精，有些量杯中注满了蒸馏水，还剩下一个空量杯，而酒精的体积是蒸馏水体积的两倍．那么注满蒸馏水的量杯是 ． 3．各边互不相等的，两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长度也是整数，那么这条高的长度等于 ． 4．如图1,在中, , ,延长到,使,点是的内心,则 ． 图1 图2 图3 5．的三边长都为整数,且,当为等腰三角形时,它的三边边长分别为 ． 6．如图2,凸五边形内接于半径为1的⊙,是矩形, ,且和把三等分.则此五边形的面积是 ． 7．方程的两根为，且，则有序实数对共有 对． 8．如图3,正内接于正方形，其中分别在边上，若，则 ． 二、解答题（本大题共3小题，共44分，答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 9．（本小题满分14分）如图，⊙与⊙相交于、两点，过点的直线交⊙与⊙于、.弧的中点为，交⊙于，交于，连. (1) 求证：; (2) 求证：; (3) 若，求和的长. 10．（本小题满分14分）两个男孩曹俊和伍岳在棋盘上用黑棋子和白棋子对局，规则如下： （I）他们轮流下子；（II）每轮到一次，就把一个棋子放在棋盘的空格里；（III）棋手轮到时，可选择一白子或一黑子，并且不必要总用同色；（IV）当棋盘填满时，某一行、列或对角线有偶数个黑棋子，曹俊就得1分，而某一行、列或对角线有奇数个黑棋子，伍岳就得1分；（V）棋手至少得到分中的分，就算得胜． （1）和局是否可能？若可能,请列出一种表格的情况；若不可能，请说明理由； （2）叙述先下手的男孩的取胜策略． 11．（本小题满分16分）已知直线和，二次函数图象的顶点为 （1）若恰在直线和的交点处，证明无论m取何实数值，二次函数的图象与直线总有两个不同的交点； （2）在（1）的条件下，直线过点，二次函数的图象与轴交于点C，与轴的左交点为，在直线上求异于的点，使在的外接圆上. 2012安师大附中自主招生数学 答案 1. 2. 、（或者填16毫升、22毫升） 3. 4. 5. ；； 6. 7. 8. 9.(1)证明：连接，,,则 中，.由 即 ………………5分 （2）,有，，有 ………………9分 （3）由题意,由相交弦定理可知： ,由（2）可得 ………………14分 10.解（1）和局是可能的，结局如图1 黑 白 黑 白 黑 白 黑 白 黑 图1 …………… 5分 （2）如果有0或2个黑子的行（列或对角线，下同）的数目超过4，曹俊就会得胜。如果有3或1个黑子，也就是有0或2个白子的行的数目超过4，伍岳就会得胜。由于曹俊（黑）和伍岳（白）之间的对称性，只要考虑曹俊先下手的情形就够了。 曹俊把一个黑子放在中心上，然后，不管伍岳怎样下子，曹俊总是把不同色的棋子放在关于中心对称的方格上。这样，在他的后面4步中，每一步都保证有两条对角线之一或通过中心的行或列有2个黑子。此外，至少还有另一行或另一列有2个黑子。 事实上。试考虑游戏的结局的棋盘，恰好有两角方格放着黑子，这两个黑子不能在对角上。因此，棋盘实际上类似于图2的样子： 黑 1 白 黑 黑 2 白 图2 方格1和2恰好有一个放黑子，它所在的一行有偶数个黑子。……………14分 11（1）证明交点，此时二次函数为 ，联立消去，得 由可证