克氏法则教学课件PPT.ppt

克莱姆 推论 例1(P20例9) 复习 性质 行列式按行(列)展开 行列式的计算 例2(P20例10) 如 范德蒙 行列式练习： 3. 求 解法三 4. 计算 §3 克莱姆法则 引例 二元一次方程组的解 克拉默法则 分析： 2) 证解是惟一的: 定理4 例1(P27 例12) 例2 证明方程组 例3(P27例13) 小结 1. 代数余子式的性质 2. 克莱姆法则 * * * * 1704年7月31日生于日内瓦. 1752年1月 4日卒於法国塞兹河畔巴尼奥勒. 早年在日内瓦读书, 1724年起在日内瓦加尔文学院任教, 1734年成为几何学教授, 1750年任哲学教授. 为了确定经过 5 个点的一般二次曲线的系数, 他应用了著名的克莱姆法则, 即由线性方程组的系数确定方程组解的表达式. 但该法则是1729年由英国数学家马克劳林得到, 1748年发表, 但克莱姆的优越符号使之广为流传.?? 他一生未婚, 专心治学, 平易近人且德高望重, 先後当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员. 他首先定义了正则、非正则、超越曲线和无理曲线等概念, 第一 次正式引入坐标系的纵轴( y 轴), 然後讨论曲线变换, 并依据曲线方程的阶数将曲线进行分类. 他自1727年进行为期两年的旅 行访学. 与约翰. 伯努利、欧拉等人学习交流, 结为挚 友. 後又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数学名家, 回国後在与他们的长期通信 中, 加强了数学家之间的联系, 为数学宝库也留下大量有价值的文献. (Cramer, Gabriel ) 若在右端把 换成 : = ??? 按第 j 行展开 = 0, 行列式中任意行(列)元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零 . 即 代数余子式的重要性质 可理解为一个行列式按第 j 行的展开式 第 j行元素 ? ← j 行 计算 n 阶行列式 按第一列展开 50 按某行可拆为两个的和; 均可化为 三角行列式 ? 特殊行列式 ? 一般地 六条 20 互换两行变号; 30 可提取某行公因子; 60 某行的k 倍加到另一行上值不变. 10 转置值不变; 40 有两行成比例值为0; 对角、三角 行列式 每行之和相等的(对称)行列式 奇数阶反对称行列式 结合性质降阶 建立递推公式 余子式 代数余子式 数字行列式 低阶字母行列式 n 阶数字或字母行列式 范德蒙行列式 对行成立的对列亦然 —— 共 项的乘积(后列减前列) . 注意两点： (1) 形式 (2) 结果 同类因子的乘积 用数学归纳法证 对于范德蒙行列式,我们的任务就是：利用它计算行列式 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 ——自上向下按升幂排列,形成等比数列； 牢记其形式和结果 你能识别出范德蒙行列式吗？ 你会用范德蒙行列式的结果做题吗？ ▋ ▋ ▋ “自上向下”同于“自左向右”! 范德蒙行列式？ 一般地? 1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法. (A-T.Vandermonde,1735-1796) 法国数学家. 他是第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人. 范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士. 特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则.