函数的微分及其应用一微分概念实际问题需要我们计算函数的改变.docVIP

3.3　函数的微分及其应用 一　微分概念 实际问题需要我们计算函数的改变量． 例1　如图3－2，设有一正方形铁片，边长为，当铁片热胀冷缩时，其边长的改变量为，问面积改变了多少？ 解　 　 　　（１） 例2　把例１中正方形铁片改为正方体，同样的问题， 问体积Ｖ改变了多少？ 解　 　　　　　　　（２） 当函数的关系式比较复杂时，要计算函数改变量的精确值是很繁难的，因此，当精确度要求不高时，我们希望用近似值代替，那么用哪一部分近似代替呢？ 从⑴⑵式可以看到，当很小时，我们用近似代替，用近似代替，这是因为： １.与是关于的线性函数（又称线性主部）计算简单； ２.而余下的部分与，当时是关于的高阶无穷小，近似程度比较好． 那么，我们把，称为函数与在处的微分． 定义3.4　设函数在点及邻域内有定义，如果函数在处的改变量可以表示为 其中Ａ与无关，是关于的高阶无穷小．则称为函数在处的微分，记作，即，这时称在点处可微． 根据定义3.4，，． 问题１　当时，Ａ＝？与有什么关系？ 观察⑴⑵得知，例１中，例２中，分别是函数与在处的导数值. 定理3.6　函数在处可微在处可导且. 证明　因为在处可微，由定义3.4 即在处可导，． 因为在处可导，根据定义3.1 ＝ ＝（是时的无穷小量） 其中与无关，是关于的高阶无穷小，又根据定义3.4 在处可微　　　　　　口 根据定理3.6，函数在处的微分可记为． 又＝，所以＝或　　　　　　　　　　　　　　　　⑶ 因此，导数又有了新的含义，即导数又称函数的微分与自变量的微分之商，简称微商． 例１　求函数的微分 解　 例２　求函数在处的微分（记作） 解　因为 所以　， 二 微分的几何意义 如图3－3，，， ． 所以 ，即函数的微分就是曲线在点处的切线的纵坐标在相应点处的改变量，而就是曲线的纵坐标在点处的改变量，当很小时，我们用， 比小得多． 三 微分基本公式及运算法则 根据定义3.4与定理3.6，由导数公式可以给出相应的微分公式 1 　基本初等函数的导数和微分公式 导数公式 微分公式 2 微分的四则运算 定理3.7　设函数、可微，则： ⑴ ⑵ ⑶（） 例3　求函数的微分 解法一 　　　据定理3.6　　 解法二 　　　　 　　　　 　　　　 即　　dy 例4　求函数的与 解　 　　　 　　　 　　　 故 dy 3 复合函数的微分——微分形式不变性 设函数，均可微，则复合函数也可微．据微分定义及复合函数的求导法则 由于，所以． 因此，不论ｕ是自变量还是中间变量，函数的微分都具有同样的形式： 这个性质称为一阶微分形式的不变性． 例5　求函数的微分与 解　 　　　 　　　 　　　 　　　 故dy 　 从例４例５可以看到，有时也用微分来求导数，往往不易出错． 四 微分的简单应用 从实际问题抽象出微分概念的过程中，已给出了微分的应用，即当很小时， 记，有 　　　 　　⑴ 又 （）　 　⑵ ⑵式的意义在于，当很小时，可以用⑵计算点处函数值． 例6 半径为８ｃｍ的金属球加热以后，其半径伸长了0.04ｃｍ，问它的体积大约增大了多少？ 解　球的体积　 ， 　　　　（ｃｍ３） 例7 计算的近似值 解　设，，， 由公式⑵　 而， ∴ 例8 求的近似值 解　设， ， ， ∴ 例9 证明：当时， 证明　设，，， ，， 　　＝１＋１×ｈ＝１＋ｈ 同理可证　 　　　　 　　　　 　　　　 习题3－3 1. 求函数,在处，在等于时的增量与微分. 2. 求函数,自变