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第四章 导数和微分 §4.1 导数和微分概念 1 微分概念产生的背景 例如将一边长为的正方形的花坛进行扩建，边长增加后，正方形花坛的占地面积增加了多少？ 易知花坛面积增加了. 又如函数在点处的改变量为时, 其相应函数值的改变量为  一般来说,当函数的自变量的微小的改变时,它的函数值即因变量也会有一个相应的改变. 从以上两例可以看出,当很小时,函数值的改变量可以近似用的线性部分和来代替.其中,当时,和都是比高阶的无穷小量.2 微分的定义 定义1 设函数在的某邻域内有定义, 当给一个改变量时相应函数值的改变量为 (1)则称函数在可微,且(1)式中的为的线性主要部分,称为在的微分,记为 或 (2) 若函数在区间I上的每一点都可微,则称函数在区间I上可微. 当在区间I上可微且时,我们称为自变量的微分,记作,而将的线性主要部分记为, 称为因变量的微分, 记为, 于是有以下关系式成立: 注: (1)式中的与无关,但与和所给的点有关;当时, 与是等价无穷小量.例1 (1) 求函数当时的微分. (2) 求在任意点的微分. 解: 因为, 所以所求微分为 (2) 因为, 所以所求微分为  图13 导数产生的背景与函数及所给的点到底有什么关系?怎样更方便地求, 下面我们讨论另一个重要概念----导数. 导数思想最先是由法国数学家费马(Fermat)在研究函数的极值问题时提出来的, 但与导数问题直接相关的两个问题是:“切线”问题和“速度”问题. 它们分别是由德国数学家莱布尼兹(Leibniz)和英国数学家牛顿(Newton)在研究几何学和力学过程中提出的. (1)切线问题. 我们考虑由方程表示的曲线（图2）. 在上取两点和. 连接和的直线是的一条“割线”, 它的斜率是 当点沿着向点移动时, 割线也随着变化, 图2 它的斜率也随着变化, 此时有. 若 存在, 则称通过点以为斜率的直线叫做曲线在点的“切线”。即我们把切线看作割线的极限位置。 (2)速度问题。一般地，一个运动的质点，若它的位移与时间的关系可表示为,则质点由时刻到时刻这段时间内的平均速度是 那么怎么求出质点在某一时刻的速度呢? 当时间段很小时,质点在某一时刻的瞬时速度可以近似用它在时间段的平均速度 来代替.显然若 存在, 则叫做质点在时刻的“瞬时速度”, 简称“速度”. 速度函数反映了质点运动快慢的全部变化情况. 综合以上两个问题, 我们看到, 切线斜率和瞬时速度都是函数在一点的变化率. 变化率问题具有极大的普遍性, 凡涉及到某个量的变化快慢的问题,如物理学中光电的各种传导率、化学中物质的反应速率、人口学中的人口增长速率等等. 通常, 我们把函数在一点的变化率，叫做函数在一点的“导数”.即导数是因变量关于自变量的变化率. 下面我们给出导数的定义. 4 导数的定义 定义2 设函数在点的某个邻域内有定义, 若极限 (3) 存在, 则称函数在点处可导, 并称这个极限为函数在点处的导数，记为.  若令, , 则(3)式可表示为 (4) 也可记作或. 若(3)或(4)式中的极限不存在, 则称函数在点处不可导.函数在点处可导也可说成函数在点处具有导数或导数存在. 注：(i) 导数是因变量在点处的变化率, 它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度. (ii) 导数的定义给出了求函数在一点处的导数的步骤：首先求函数值的增量；其次求函数值改变量和自变量改变量的比值；最后求当时的极限. (iii) 如果函数在区间内的每一点都可导, 则称函数在区间内可导. 这时, , 都对应着的一个确定的导数值,我们称它为原来函数的导函数, 记作, , 或. 在不引起混淆的情况下, 导函数一般称为导数. 显然, 函数在点处的导数就是导函数在点的函数值. 即. 用定义求