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正弦函数、余弦函数的性质 周期性 * * 没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。 ——卡罗斯 它描述了一种“周而复始”、 “重复出现”的现象。 一、创设情景，引入课题 黑夜又白昼 春去春会来 花谢花会再开 自由想象 请列举几个“周而复始”的客观实例. 数学上，我们用周期性这个概念来定量的刻画这种“周而复始”的变化规律。 观察一下正弦函数是否具有这种“周而复始”的变化规律呢？ 终边相同的角有相同的三角函数值 将图象左右平移 回顾：怎样由y=sinx,x∈[0,2π]的图象得到y=sinx,x∈R的图象？ y=sinx,x∈[0,2π]的图象 y=sinx,x∈R的图象 从图象看：正弦函数图象每经过一段（ 2π、 4π、 6π… ）后重复出现。 从函数值看：函数值有“周而复始”的变化规律。 诱导公式： sin(x+2kπ)=sinx, (k∈Z) 即：当自变量x的值增加一个定值2kπ（2π的整数倍）时，函数值重复出现。 结论：象这样一种函数叫做周期函数。 二、观察抽象，形成概念 问题 ： 能不能从正弦函数周期性归纳出一般函数的周期性 定义？ 观察：诱导公式 sin(x+2kπ)=sinx,(k∈Z) 抽象：sinx→f(x),2kπ→T, sin(x+2kπ)=sinx→f(x+T)=f(x) 周期函数及周期的定义： 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。 翻译： 三、讨论问题，剖析概念 成立， 问：(1)对于函数y=sinx, x∈R,有 能说 是它的周期吗？ （2）正弦函数y=sinx,x∈R的周期是什么？ 　　　 注：周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期． 注：对定义域内的任何一个值x ，f(x+T)=f(x)恒成立 结论：正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z,且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. （4）函数f(X)=2是周期函数吗？它有最小正周期吗？ 注：周期函数不一定有最小正周期。 结论：余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z,且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． 结论：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z,且k≠0)都是它们的周期，最小正周期都是2π. （3）余弦函数y=cosx,x∈R是周期函数吗，周期是什么？ 　　　 注：即能否找到非零常数T,使cos(x+T)=cosx成立。 例 求下列函数的周期： (1)y=3cosx, x∈R; (2)y=sin2x, x∈R; 解:(1) 这里的周期指的是最小正周期! 四、典例分析，运用概念 的周期为π. (3) 的周期为４π 例 求下列函数的周期： (2)y=sin2x,x∈R; (1)y=3cosx,x∈R; 解:(2) 五、拓广延伸，总结方法 结论： 的周期为 的周期为 若 则 (1)y=3cosx, x∈R; (2)y=sin2x, x∈R; 例2 求下列函数的周期： 解： 公式法求正弦、余弦函数最小正周期要点： 1.求w的值.(w是x的系数) 2.套用公式： 一、选择题 1.下列函数中，最小正周期为 的函数是（ ） 解析： D 六、练习反馈，巩固新知 解析： B