估计大学城占地面积模型数学建模.doc

估计大学城占地面积模型 摘要：本文在提供的少数记录的数据情况下进行多项插值和拟合，得到汽车行驶的速率、方向角关于时间的拟合曲线。在给出足够小的单位时间，得到无数多个汽车行驶位置的点坐标，接着利用微元思想，把行走的曲线路程看成无数多个微小线段，建立了微元模型来求解汽车行驶总的路程，用数值逼近法求出最后点坐标及验证。 在估计大学城面积时，先通过计算机模拟得到汽车行驶的散点图，通过微元思想，把总面积分成无数个梯形的面积，并用matlab编程求解，还用变步长比较法对结果进行验证。根据问题中要求，利用最小二乘法进行多次线性拟合，先简单得到了直角坐标系下汽车行驶路程的参数函数表达式，对模型进一步改进，建立了阿基米德猜想模型，猜想得到的阿基米德曲线，通过VB编程比较汽车行驶的路程曲线和阿基米德曲线，发现非常相似，验证了猜想的正确性，并用VB编程编程求解出模拟的阿基米德曲线函数表达式，最后利用积分求其面积和微元思想求解决下的面积十分接近，进一步验证其结果。 关键字：多项插值和拟合；微元思想；数值逼近；计算机模拟；阿基米德曲线 1 问题的重述 领导视察大学城，坐车从大学城边界上某处出发，沿边界行驶了15分钟45秒，然后作90o左拐弯沿直线边界直奔起点。下表给出了汽车在前15分钟45秒行驶过程中每隔2分钟左右的记录数据。 时间 ( 分 ) 0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 15.75 速率（公里/分） 0 0.67 0.85 0.97 1.07 1.15 1.22 1.29 1.34 方向角 ( 度 ) 0 91 144 189 229 266 300 333 360 请你根据提供的数据， (1) 估计汽车绕大学城行驶的总的路程； (2) 估计大学城的占地面积； (3) 确定该汽车的行驶路线的函数表达式。 2 问题的分析 针对问题一，首先对问题中所给的数据，用最小二乘法对其进行多次线性拟合，分析拟合图象的残差平方的大小，从而找到比较正确的拟合曲线和起对应的函数关系式。然后利用微元法，给出总够小的单位时间，利用拟合所得到的函数关系式，得出对应的速率和方向角，计算出任意时刻的水平速度大小和垂直速度大小，然后计算单位时间内汽车所行驶的水平位移和垂直位移，接着把所得到的无数个单位时间内的汽车所行驶的距离累加，就得到汽车在15.75分之前行驶的路程。把前面个单位时间内所行驶的位移进行累加得到的位移就是任意点的坐标，也就可以得到15.75时刻所对应的点坐标，就可以计算出汽车在15.75分后所行驶的直线路程。那么汽车绕大学城行驶的总的路程为+。 针对问题二，首先给出单位时间=0.1，根据问题一所建立的微元模型得到158个散点，然后利用计算机数值模拟，得到第个单位时间与第个单位时间与轴围成的梯形面积，汽车行驶的轨迹与轴围成的面积，即大学城的占地总面积。更改单位时间，同样计算到汽车行驶的轨迹与轴围成的面积，即大学城的占地总面积，分析两者之间的误差百分比，从而来验证建立的模型的正确性、合理性，以及计算估计得到的大学城面积的正确性。 针对问题三，把汽车行驶任意位置分解为点坐标，通过多次线性拟合得到两条曲线，并求出和关于的函数表达式，建立参数线性模型，得出汽车行驶的路程参数函数表达式。分析关于的散点图象，看看有没有和一些特殊的曲线相吻合，从而求出更简单的汽车行驶的路程函数表达式。 3 模型的假设 1）假设每次所记录的数据都是准确的，不考虑记录数据误差； 2）假设测量速率和方向角的时候，不考虑环境因素； 3）假设整个测量过程都是连续的，没有断点，即没有任何意外事件发生； 4）假设汽车所行驶的路程是平面的，不考虑有斜坡的情况； 5）假设以汽车起始点为原点，建立直角坐标系。 4 符号说明 汽车行驶的速率 汽车行驶的方向角 汽车行驶的时间 汽车行驶的速率与时间之间的函数关系 汽车行驶的方向角与时间之间的函数关系 很小的单位时间 单位时间时刻的汽车行驶速率 单位时间时刻的汽车行驶方向角 单位时间时刻的汽车行驶的水平速度 单位时间时刻的汽车行驶的垂直速度 第个单位时间时汽车行驶的水平速度 第个单位时间内汽车行驶的水平位移 第个单位时间时汽车行驶的垂直速度 第个单位时间内汽车行驶的垂直位移 第个单位时间汽车行驶路程 15.75分之内汽车行驶的曲线路程 第个单位时间时汽车所在位置的水平位移 第个单位时间时汽车所在位置的垂直位移 汽车行驶任意位置点的坐标 15.75分后汽车行驶的直线路程 汽车绕大学城行驶的总的路程 第个单位时间与第个单位时间与轴围成的面积