笛卡尔积不满足交换律.ppt

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第2章 基础:集合、函数、序列、求和 2.1 集合 2.2 集合运算 2.1 集合 集合(set):定义1 元素(member):定义2 通常地 集合中的元素都具有相似的性质 2.1.1 引言 集合的表示方法: 列举法:直接枚举所有(或部分)的元素 Ex. 自然数集合 N={0,1,2,3,…} 构造法:用谓词描述所有元素的性质 Ex. S={ x | S(x) } S(x):?x ( (x是实数) ? (x2-1=0) ) 文氏图:图2-1 2.1.1 引言 集合与元素的关系:成员关系 元素是集合的成员 元素 x 属于集合 A,记为 x?A 2.1.1 引言 元素的性质 确定性:元素与集合的成员关系可确定 对任意元素、集合,成员关系是确定的 无序性:元素列出的顺序无关 相异性:集合中每个元素只出现一次 2.1.1 引言 元素的性质 确定性、无序性、相异性 嵌套性:集合的元素也可以是集合 2.1.1 引言 罗素悖论 论域为所有集合的集合,定义一个集合S S 由不以自身为元素的所有集合组成,S={ A | A ? A} S是否为自己的元素? 理发师悖论 某地有个理发师,他说:“我只给那些不给自己理发的人剪头发”,请问:他是否能给自己理发呢? 2.1.1 引言 集合之间的关系 1 相等(定义3),记为= A=B??x(x?A?x?B) ??x(x?A?x?B)??x(x?B?x?A) 2.1.1 引言 集合之间的关系 2 包含(定义4),记为? A?B??x(x?A?x?B ) 其中:A叫做B的子集,B叫做A的超集(扩集) 不包含:A?B??x(x?A?x?B) 集合相等 vs. 子集 A=B?A?B ? B?A 2.1.1 引言 集合之间的关系 3 真子集:?,? A?B?A?B ? A?B 2.1.1 引言 空集 ?:不含有任何元素的集合 Ex. { x | x?R ? x2+1=0 } 定理:空集是任何集合的子集 对于任意集合 S ?x ( x ? ? ? x ? S ) ?T 2.1.1 引言 定理:?是惟一的 假设存在空集?1和?2,由上述定理有 ?1??2,?2??1 根据集合相等的定义,有?1=?2 2.1.1 引言 定理 1 基数 有限集合 S 的元素个数,|S|(定义5) 无限集合 定义6 2.1.2 幂集 幂集(power set):P(S)={ x | x ? S } 由集合S的所有子集组成 Ex. P(?)={?}, P({?})={?,{?}} 基数:如果 |A|=n,则 |P(A)|=2n 2.1.2 幂集 全集 U:所有元素组成的集合 全集具有相对性 与问题有关,不存在绝对的全集 全集=论域:集合元素只能在其中取值 2.1.3 笛卡尔积 定义8:有序 n 元组(a1,a2,…,an) 分量 1:a1,分量 2:a2,…,分量 n:an n=2: (a1, a2) 有序对/序偶(ordered pairs) 2.1.3 笛卡尔积 有序 n 元组:(a1,a2,…,an) 注意:n元组的( )与集合的{ }含义不同 2.1.3 笛卡尔积 笛卡尔积(叉积)(定义9) 集合A、B的笛卡尔积是A×B,它由所有的有序对(a, b)组成,其中a∈A且b∈B A×B = {(a, b)∣a∈A∧b∈B} 2.1.3 笛卡尔积 A = {1,2}, B = {a,b}, C = {α,β,γ} A ?B ?C =? 2.1.3 笛卡尔积 A1, A2, …, An的笛卡尔积(叉积)(定义10) A1×A2×…×An={(a1,a2,…,an)|a1∈A1∧a=∈A2∧…∧an∈An} 笛卡尔积有几个元素? 2.1.3 笛卡尔积 定理:有限集笛卡尔积的基数 |A1×A2×…×An| = |A1|×|A2|× … ×|An| ??S 的基数是? 2.1.4 带量词的集合表示 集合中元素必须使谓词为真 例 19 ?x(x?R?x2?0),?x(x?Z?x2=1) 例 20 练习 以下描述的集合是什么?(U表示论域) U = N { x | ?y (y ? x ) } = ? U = Z { x | ?y (y ? x ) } = ? U = Z { x | ?y (y ? R ? y2 = x )} = ? U = Z { x | ?y (y ? R ? y3 = x )} = ? U = R { |x| | x ? Z } = ? U = R { |x| | x ? R } = ? 练习 下面说法正确的是? N ? R Z ? N -3 ? R { 1, 2 } ? Z+ 练习 下面说法正确的是? { x } ? { x } { x }

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