惟一强clean环-湖北大学学报.PDFVIP

第３８卷第３期 湖北大学学报（自然科学版） Ｖｏｌ．３８　 Ｎｏ．３　 ２０１６年５月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｕｂｅｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ｍａｙ，２０１６　 文章编号：１０００ ２３７５（２０１６）０３ ０１８２ ０５ 惟一强∗⁃ｃｌｅａｎ 环 １ ２ 王秀兰 ，李春娜 （１．天津农学院基础科学学院，天津３００３８４；２．浙江工业大学之江学院理学院，浙江 杭州３１００２４） 摘要：∗⁃环Ｒ被称为惟一强∗⁃ｃｌｅａｎ环，如果Ｒ 中每个元素都可以惟一表示成可交换的单位和投射的和．本文中给 出一个∗⁃环是惟一强∗⁃ｃｌｅａｎ环的等价条件并给出几个惟一强∗⁃ｃｌｅａｎ环的例子． 关键词：惟一∗⁃ｅｘｃｈａｎｇｅ环；强∗⁃ｃｌｅａｎ环；惟一强∗⁃ｃｌｅａｎ环 中图分类号：Ｏ１５３　 　 文献标志码：Ａ　 　 ＤＯＩ：１０．３９６９／ ｊ．ｉｓｓｎ．１０００⁃２３７５．２０１６．０３．００２ Ｕｎｉｑｕｅｌｙ ｓｔｒｏｎｇｌｙ ∗⁃ｃｌｅａｎ ｒｉｎｇｓ １ ２ ＷＡＮＧ Ｘｉｕｌａｎ ，ＬＩ Ｃｈｕｎｎａ （１．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｂａｓｉｃ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｔｉａｎｊｉｎ Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔｉａｎｊｉｎ３００３８４，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｚｈｉｊｉａｎｇ Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｚｈｅｊｉａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ３１００２４，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ∗⁃ｒｉｎｇＲ ｉｓ ｕｎｉｑｕｅｌｙ ｓｔｒｏｎｇｌｙ ∗⁃ｃｌｅａｎ ｉｆ ｅｖｅｒｙ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ Ｒ ｉｓ ｕｎｉｑｕｅｌｙ ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｆ ａ ｕｎｉｔ ａｎｄ ａ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｃｏｍｍｕｔｅ ｗｉｔｈ ｅａｃｈ ｏｔｈｅｒ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ，ｗｅ ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ａ ∗⁃ｒｉｎｇ ｂｅｉｎｇ ｕｎｉｑｕｅｌｙ ｓｔｒｏｎｇｌｙ ∗⁃ｃｌｅａｎ． Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｓｏｍｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ｕｎｉｑｕｅｌｙ ｓｔｒｏｎｇｌｙ ∗⁃ｃｌｅａｎ ｒｉｎｇｓ ａｒｅ ａｌｓｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｕｎｉｑｕｅｌｙ ∗⁃ｅｘｃｈａｎｇｅ ｒｉｎｇ；ｓｔｒｏｎｇｌｙ ∗⁃ｃｌｅａｎ ｒｉｎｇ；ｕｎｉｑｕｅｌｙ ｓｔｒｏｎｇｌｙ ∗⁃ｃｌｅａｎ ｒｉｎｇ ０　 引言 本文中，Ｒ是一个有单位元 １的结合环．称Ｒ 为（惟一）ｃｌｅａｎ环，如果Ｒ 中每个元素都可以（惟一） 表示成幂等元和单位的和．称Ｒ 为（惟一）强ｃｌｅａｎ环，如果Ｒ 中每个元素都可以（惟一）表示成可交换的 幂等元和单位的和．（惟一）ｃｌｅａｎ环和（惟一）强ｃｌｅａｎ环与正则环、强π正则环以及布尔环等环类有着 密切联系，可参考文献［１⁃５］． ∗ ∗ ∗ 环Ｒ上的对合作用 ∗（∗：Ｒ Ｒ）是一个反自同构，即对任意的ｘ，ｙ ∈Ｒ 有（ｘ ＋ｙ） ＝ｘ ＋ｙ ， → ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ２ ∗ （ｘｙ） ＝ｙ ｘ 和（ｘ ） ＝ｘ．一个有∗作用的环称之为∗⁃环．如果∗⁃环Ｒ 中的元素ｅ满足ｅ ＝ｅ＝ｅ ，则 称元素ｅ是一个投射．显然，０ 和１是任意一