第三章 数值计算方案.pptVIP

我们把长度为 的空间域分为I等分，即 ， 为空间步长，可得I+1个空间格点。函数u在格点上的值可表示为有限级数的形式： （3.137） 由于 ，上式也可写成： 其中为k波数，而 为网格系统可以分辨的最大波数。 混淆误差的产生： 上述关系式表明：由于波数为 和 的两个谐波的非线性相互作用，有限网格不能正确分解波数为 的波，而是把它错误地表示为S的分量。 假设 中包含两个波：波数分别为 和 。而由于非线 性作用产生波数为 和 的波。 假设 如果引进S 此时 可得到 （3.138） 图3.5 混淆误差示意图（其中实线表示波数为 的波分量，而虚线表示波数为S的波分量） 使原有的波数为 的波的能量发生了变化，这是由于采用了差分近似而产生的现象，并不反映真实的物理过程。 取I=12 则有限网格可以分解的最大波数为I/2=6 设 波数 （实线） 只能表示为波数为 假设， ，则 ，此时二倍格距波长的波与四倍格距波长的波发生相互作用，有能量反馈到波长为四倍格距的波中去。如果这种过程不断重复，则四倍格距的波能量就会迅速增长，这种虚假的计算现象可能会使得计算结果迅速增长而产生计算不稳定，称之为非线性计算不稳定。 假设 和 相互作用，能量反馈到 ，则有 ： ，或 。由于 ， 所以 。因此，发生能量自反馈的波其波长必在 和 之间，也就是说只有对波长很短的波才发生能量的自反馈；非线性不稳定的产生主要是由于短波能量的虚假增长所造成的。 计算稳定性问题是用数值方法求解偏微分方程的一个中心问题，抑制和克服非线性计算不稳定是非常必要的。目前，抑制和克服非线性计算不稳定的做法通常有： 空间和时间平滑，滤去短波分量（滤除波长小于4倍 格距的波动）； 在方程中加入形如 的扩散项； 构造具有隐式平滑和某种选择性衰减作用的差分格式 构造守恒的差分格式，使差分方程尽可能保持原来的 物理规律和能量关系； 三、克服非线性不稳定的方法 本章小结 差分格式 差分格式的基本性质 时间积分格式 差分格式的误差问题 非线性计算稳定性问题 其中A+B=1， 对于 （a）有：A=1，B=0 （b）有：A=0，B=1 （c）有：A=1/2，B=1/2 上述三种格式可写成以下通用形式： （3.66） 格式分析：即利用Von-Neumann方法，讨论其稳定性。 （其中 ，进而有 ） 根据G的表达式，对时间积分格式的稳定性进行分析。? 求其增幅因子为： (3.69） （3.66） a、欧拉格式：A=1，B=0， 故其为绝对不稳定格式。 ?b、后差格式（隐式格式）：A=0，B=1 可见其为无条件稳定格式，或绝对稳定格式。 ?c、梯形格式（隐式格式）：A=1/2，B=1/2 故为中性格式，其数值解振幅不变。 2、二时间层的积分格式（迭代格式） a、欧拉—后差格式 （3.72） 是一个不断迭代的过程。 具体说明： b、赫恩格式： （3.73） 其中，A+B=1。对于（a）有：A=0，B=1； （b）有：A=1/2，B=1/2 通用形式： （3.74） 稳定性分析： （3.75） 进一步可以将其化为： （3.76） 于是： （3.77） （1）、当A=0，B=1时，为欧拉—后差格式，此时： 当满足 时，格式为稳定的，该格式为条件稳定。 （2）、当A=1/2，B=1/2时，为赫恩格式 此时： 上式表明，无论该式中 取何值， ，故该格式为绝对不稳定格式。 在上面介绍的时间积分格式均为两个时间层上的格式，下面我们将简单介绍包含三个时间层 的时间积分格式。 常用的中央差格式，又称跳背格式，其形式为： （3.78） 对于这种格式，可以看出不仅需要一个具有物理意义的初值 ，同样还需要一个出于计算要求的初值 ，前者称为物理初值，后者称为计算初值。 3、三个时间层的积分格式 据Von-Neumann稳定性判别方法，以上格式