第三章 常微分方程的边值和本征值问题.pptVIP

例子 其中解析解为 利用打靶法求解常微分方程边值问题 对于边值条件 y’(0)=a, y(1)=b ，我们可以选择 y(0) 的值为可调参数 δ ，即 y(0) = δ ，这样就构成了一个含参数的初始问题，然后通过使用一个有哪些信誉好的足球投注网站算法去调整参数 δ ，使数值解在误差范围内等于 y(1) 。 对边值问题的其它类型的边值条件也可以用同样的方法来考虑。 对于边值条件 y’(0)=a, y(1)=b ，如何利用打靶法来求解？ 3.4 打靶法求解本征值问题 考虑一根密度均匀的绷紧的弦的振动，分离变量后，空间部分满足的方程和边界条件可以写成 φ 是弦的横向位移， k 是波数 解析解为 策略：我们先猜测一个试验本征值 k，同时任取一个非零数δ， 把微分方程变化为一个初始值问题 然后从 x = 0 向前积分产生一个数值解。如果该数值解在 x = 1 处的值与边条件 ?(1) = 0 在误差范围内不相等，就改变试验本征值的值，再度积分。重复这个过程，直到最终找到本征值和对应的本征函数。 相比边值问题，本征值问题多了一个待定参数 注意：试验本征值 k 是一个可调参数，而参数 δ 只是一个任意选定的辅助参数，它的任意性是由于解 的不唯一性引起的，并不影响本征值的求解，一般来说它可以由本征函数的归一化来确定。 3.5 一维薛定谔方程的定态解 在 x = xmin 和 x = xmax 处两点位势变为无穷大，也就是说在这两点上有刚壁，在 这两点之间则是一个势阱。 一维位势 V(x) 中一个质量为 m 的粒子的量子力学定态 定解问题 其中 求使这个问题有非零解的能量本征值 E 及其相应的波函数 算法的思想为：由于我们要求的是一个束缚 态解,因此取一个负的试验本征值，从 xmin 出发向前直接积分，可以产生一个数值解 ψ。 策略——双向直接积分方法 它如果 越过右转折点再继续积分下去，那么这个数值解将变得不稳定。因为即使在一个精确的能量本征值上， 也可能混入一个不想要的指数增长的成分，这将导致进入经典禁戒区的积分很可能是不准确的。 它在经典禁戒的区域内按指数方式增长,并且越过左转折点进入经典容许的区域，在经典容许的区域内振荡。 因此比 较明智的做法是，在每一个试验本征值上，由 xmax 出发向后直接积分产生另一个数值解 ψ。 ψ和 ψ的归一化总是可以这样选择，使得两个函数值在 xm 上相等。这时如果 它们的微商在 xm上也相等，那么就可以断言这个试验本征值就是能量本征值. 为了判断 这个试验本征值是不是一个能量本征值,可以在一个接合点 xm上比较 ψ和 ψ，其中接合点 xm要这样选择，使得两个积分都是准确的。这里接合点 xm 的一个方便的选择是左转折点或右转折点。 这里的ψ 是一个方便的标尺 数学表达式为 先将Schro?dinger 方程做无量纲处理，可以写成 按照打靶法的思路，实现数值计算的具体步骤为：首先取一个试验本征值 ε,求 解方程 一般来说它有两个零点，这里我们选择左面的交点为接合点 xm。 步骤 其中 其次从 xmin 出发 向前直接积分到 xm ,得到数值解 ψ ，它可以通过求解下列问题得到 再从 xmax 出发向后直接积分到 xm ,得到一个数值解 ψ ，它可以通过求解下列问题得到 然后通过对 ψ 乘以一个常数因子来实现数值解 ψ 和 ψ 在接合点上相等。最后通过判断微商是否相等来有哪些信誉好的足球投注网站能量本征值. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版标题样式 第三章 常微分方程的边值问题和本征值问题 本章要研究的物理问题：薛定谔方程的定态解 本章内容 4 Numerov 算法 1 2 3 边值问题的直接积分 打靶法求边值问题 4 5 一维薛定谔方程的定态解 打靶法求本征值问题 3.0 边值问题与本征值问题 在区间的两个端点上对待求函数各施加一个约束，这样方程的解就能唯一的确定，这类问题称为边值问题。 边值问题 存在唯一的解 例如 本征值问题 在区间的两个端点上对待求函数各施加一个约束。方程存在一个待定参数，只有当待定参数取特定值的时候，方程才存在非零解，这类问题称为本征值问题。 本征解和本征函数为 例如 物理学中许多重要的微分方程具有如下形式 其中 S(x) 为驱动项。 K2(x)是一个实函数，自变量 x 通常表示空间位置． 物理学中边值问题和本征值问题的一般形式 例如泊松方程 对于这个方程，我们通常关心的是在 r= 0 和 r=+∞ 上满足某种约束条件的解，这个问题就是一个边值问题． 边值问题的例子——泊松方程 球对称形式为 作变换 为标准形式 量子力学中，中心势场 V(r) 中运动的粒子波函数满足定态薛定谔方程 本征值问题的例子——薛定谔方程 在球坐标系下可写为 对于该方程，我们感兴趣的是对哪些能量本征值E， 能够