第12讲：矩阵对角化.ppt

统计软件分析与应用 4.3 相似矩阵 线 性 代 数 A 线 性 代 数 A 5.3-5.4 相似矩阵及矩阵的对角化 §3 相似矩阵 一、相似矩阵与相似变换的概念 对 A 进行 运算, 称为对A进行相似变换, 定义: 设A, B都是n阶方阵, 若有可逆方阵 P , 使 则称 B 是 A的相似矩阵, 也称 矩阵 A与 B相似; 可逆矩阵P 称为把 A变成 B的相似变换矩阵. 二、相似矩阵的性质 矩阵间的相似关系具有 (1) 反身性: A 与 A 本身相似; (2) 对称性: 若 A 与 B 相似, 则 B 与 A 也相似; (3) 传递性: 若 A 与 B 相似, B 与 C 相似, 则 A 与 C 相似; 因此相似关系是一种等价关系. 定理: 若 A 与 B 相似, 则 (3) 相似矩阵有相同的特征多项式, 从而有相同的 特征值. 特别地, 若 A 与对角矩阵 相似, 则 就是 A 的 n 个特征值. 例: 设 与 相似, 求 a, b. 解: 由于相似矩阵有相同的特征多项式, 所以 取 三、利用相似变换将方阵对角化 因而若 P 是由 A 的 n 个特征向量所构成, 则总有 即要求 A 有n 个线性无关的特征向量. 定理: n 阶方阵A与对角阵相似 (即A 能对角化) 的 充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量. 推论: 如果 n 阶方阵 A 有 n 个互不相同的特征值, 则 A 必能对角化. 当 A 的特征方程有重根时, 就不一定有 n 个 线性无关的特征向量, 从而不一定能对角化. 例: 设 分别是 A 的对应于特征值1,－1, 2 的特征向量, 求 A. 解: §4 实对称矩阵的对角化 一、实对称矩阵的性质 (1) 实对称矩阵的特征值都是实数. (2) 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量 相互正交. (3) 定理: 实对称矩阵A 必能对角化, 且存在正交阵P 二、利用正交阵将实对称矩阵对角化的步骤 例: 设 解: A 特征多项式 续解: 续解: 续解: 续解: 例: 设 解: A 特征多项式 续解: 续解: 续解: 续解: 思考题2： 思考题1: n 阶方阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A与对角矩阵相似的（ ）. (A) 充分且必要条件; (B) 充分而非必要条件; (C) 必要而非充分条件; (D) 既非充分也非必要条件 思考题3: n阶方阵A 能与对角矩阵相似的充分必要 条件是（ ） (A) A是实对称矩阵; (B) A的n个特征值互不相等; (C) A具有n个线性无关的特征向量; (D) A的特征向量两两正交