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中级计量经济学 第五章 多元回归中的问题 x x1 x2 y f(y|x) x3 E(y|x) = b0 + b1x 异方差：影响 对于一元回归模型 ，假定误差项服从正态分布，但存在异方差。 在此情况下，利用OLS方法估计得到的参数为： 由于 ，参数估计仍是无偏的。 估计参数的方差为： 与标准方差公式相比可以发现，存在异方差导致对参数方差的有偏估计，从而影响到统计检验的有效性。 异方差：影响 异方差对OLS估计结果的影响可以概括为： 模型参数估计仍为无偏的； 模型参数方差估计是有偏的，通常可能增大； 对估计参数做统计检验和置信区间估计会遇到困难； 利用模型所做预测的精度降低。 异方差：检验 Park-Glejser检验 假定方程为 误差项的方差为 式中vi为一具有相同方差的误差项。 对后一式取对数得到 。 由于真实方差未知，需要利用样本数据估计得出。利用最小二乘法估计方程 得到误差项 估计值。 利用这一结果估计 。通过检验 的统计显著性，可以确定是否存在严重的异方差问题。 异方差：检验 White检验（该方法不依赖误差正态分布假定） 利用估计的方程计算 ； 估计 ，并得到相应的R2； 在同方差情况下有 ，式中P为Z含有的独立变量的个数。 选择Z时需要注意非线性关系。如果以X作为Z，那么应包括X和X2项；如果为X和Z，那么应包括XZ项。 异方差：检验 Goldfeld-Quandt检验（适用于大样本和只有一个解释变量的模型）。假定误差项服从正态分布，并且不存在自相关，方差与X成正相关。相应的虚假设为 将观察值按X由小向大排列，删除中间C组观察值（C约为样本容量的1/4），并保证两边的观察值数量相同，从而得到两个子样本； 分别对子样本做回归，计算出 ，用 和 分别表示与较小的X和较大的X对应的残差平方和； 计算 与 的比值，该比值服从两个自由度均为（N-C-4）/2的F分布。 异方差：检验 Breusch-Pagan检验 该检验的虚假设是H0: Var(u|z1, z2,…, zK) = s2。 如果假定u2与zj之间的关系是线性的，那么可以将该检验转变为对线性约束条件的检验。 对于方程e2/(e’e/n)= d0 + d1z1 +…+ dK zK + v，这意味着检验 H0: d1 = d2 = … = dk = 0。 我们需要利用估计的残差项进行上述检验，即残差项平方对所有Z做回归，利用得到的R2进行F检验，其两个自由度分别为k和N-k-1。 也可以计算LM统计值，LM= ?SSR回归平方和，该值服从自由度为k的c2分布。 异方差：校正方法 加权最小二乘法(Weighted Least Squares )是校正异方差的一种方法。 WLS方法的基本思路是将存在异方差的模型转变成具有相同方差的模型； WLS方法给予方差较小的观察值较大的权重，因为这样的观察值较为可靠； 应用WLS方法需要选择适当的加权变量 如果知道与每个观察值对应的方差，这种情况是最理想的，我们可以直接利用这一信息； 在实践中，更多的是依靠对异方差性质做出的判断。 异方差：校正方法 第一种情况：方差 已知 在实际工作中很少有这种情况，仅用来说明处理方法。该情况下可以采用加权最小二乘法对模型进行估计。步骤为： 将因变量和所有自变量（包括常数项）均除以 估计模型 得到 异方差：校正方法 第二种情况：误差项方差未知，但可以利用样本资料估计得到 如果与自变量X的每个值都有数个因变量Y的相对应（例如按收入组报告的家庭收支调查） ，那么可以采用此方法，但工作量较大。 异方差：校正方法 第三种情况：误差方差与某个解释变量成比例变化 例：家庭收入与支出的关系 假定 ，C为一个非零常数。 采用与情况一相类似的方式，将因变量与自变量均除以Yi，得到： 和 需要注意的是，在此情况下，由于因变量改变，R2不能再作为评价方程拟合优劣的指标。 扩展最小二乘法 (generalized least squares ) 利用OLS估计对变量做转换后的方程的方法被称作扩展最小二乘法，前面所述的对异方差的处理均是GLS的例子； GLS估计量具有最小方差和无偏性质； GLS也是加权最小二乘法，加权变量为方差的倒数Var(ui|xi)； 利用加权最小二乘法同样可以消除异方差问题，同时还不需要对变量进行转换工作，其基本思路是使加权的残差平方和最小化； 然而，选择不同